常微分方程与运动稳定性_第二篇汇编.ppt

* 定义17. 称方程组 dx/dt =A(t)x 为可化的，若存在Lyapunov变换，使之变为dy/dt=By，B—常系数矩阵 定理24. 具有周期系数的线性方程组是可化的 证：设 x(t)是 (B2)的基解矩阵，则? A-非奇异常数矩阵，使得： 取 A 为Jordan型： 令： B的特征根为：?1,…, ?k * 取: L(t)=X(t)e-Bt，则: L(t+?) =X(t +?)e-B(t+?)= X(t)J · J -1 e-Bt = L(t) ? L(t)--周期为?的Lyapunov矩阵 取Lyapunov变换: x=L(t)y, 则: 其中 ? dy / dt = B y，其基解矩阵Y(t)=L-1 X(t)=eBt * 定理25. 经Lyapunov变换后，解的稳定性不变。 定理26. 对于具有周期系数的线性方程组： dx/dt =A(t)x， A(t + ω) = A(t) 特征方程： 的根为 ?1,…, ?n (Floquet乘数)，则: 1. ?1,…, ?n的模均小于1，则方程的零解渐近稳定； 2. ?1,…, ?n的模至少有一个大于1，则零解不稳定； 3. ?1,…, ?n的模均不大于1，且模等于1的根对应的初等因子是简单，则零解稳定，反之不稳定。 * 总结： 方程： dx/dt =A(t)x ，A(t + ω) = A(t)， 应用周期为?的Lyapunov变换： x=L(t)y，化为： dy/dt =By ，B—常系数矩阵， B的特征根：?1,…, ?k （ ?j= αj + i βj ）： rj --周期方程的Floquet乘数模; Re(rj ) -- Lyapunov指数。 Re(rj ) 0 ? Chaos p96 Chaos Encipher * 由一次近似方程判断非线性方程的稳定性 定理27. 对于非线性方程(B1), 其零解稳定性可由一次近似方程(B2)决定： 若(B2)的特征乘数（Floquet乘数）模均小于1，则方程(B1)的零解渐近稳定； 若(B2)的特征乘数模至少有一个大于1，则(B1)的零解不稳定； 若(B2)的特征乘数模有一个等于1，其余均不大于1，则(B1) 零解的稳定性不能确定。 * 第四节 应用举例 考虑二阶方程： y’’ + Q(t) y’ + P(t) y = 0 (C1) 其中：Q(t + ω) = Q(t)， P(t + ω) = P(t) 引入变换: x’’ + p(t) x’ = 0 (C2) 其中：p(t + ω) = p(t)， p(t) = P(t)-Q2(t)/4- Q(t)/2 x’= y y’ = - p(t) x (C3) * 设 (C3) 的基解矩阵: 特征方程： 其中 Liouville定理 由定理27: A12 1, ? ρ1 ? 1, (C3)零解不稳定； A12 1, ?ρ1,2? 1, (C3)零解渐近稳定; A12 =1, (C3)零解由初等因子而定。 * x’= y (C4) y’ = μ p(t) x 计算A1. 考虑方程: 设 (C4) 的级数解: 初始条件 (x1, y1, x2, y2) -----标准基解组 * 积分+初始条件 ? 将解代入 (C4): 令 μ = -1 ((C4) ? (C3) ) * 定理28 (Lyapunov). 若 p(t) ≤0, 且不恒等于0 , 则(C3)零解不稳定. 证: 应证A12 1, 即: 应用归纳法：n=1时， 设 n=k时， (-1)k fk(t) 0 当 n=k+1时， 同理可证， (-1)n gn(t) 0 ? A12 1 定理29 (Borg). (C3)零解稳定, 若 p(t) 满足: * 例. 单摆的相对摆动方程 l θ α sin βt -----参数激励系统 A1 ￣ β β 自激振动 * pij (t)----既可以是周期的，也可以是一般情况。 第五节 二阶微分方程组解的稳定性 研究微分方程组零解的稳定性： (D1) p12≠0，p21≠0，当 t ?(t0 , ?) (D2) 选取? ，使之满足： ?1 ,2=? ? ? ? ?C * (D3) 代入(D1)得： 引入变换： ?=?1, ?2 由(D2)解出： 代入(D3)第二式,并参考第一式： * 微分(D3)第二式，得： 又由(D3)第一式得: (D4)