华中科技大学教学工程传热学1王晓墨研讨.ppt

§3-3 一维非稳态导热的分析解 Analytical Solution to One-Dimensional System 当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分析解。 1 无限大的平板的分析解 厚度 2? 的无限大平壁，?、a为已知常数；?=0时温度为 t0; 突然把两侧介质温度降低为 t?并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。 导热微分方程： 初始条件： 边界条件： (第三类) 采用分离变量法求解：取 只能为常数： 只为?的函数 只为x的函数 对 积分 得到 式中C1是积分常数，常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。 当时间τ趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以D必须为负值，否则物体温度将无穷增大。 令 则有 以及 以上两式的通解为： 于是 常数A、B和β可由边界条件确定。 (1) (2) (3) 由边界条件（2）得B=0 （a） 边界条件（3）代入(b) 得 (c) （a）式成为 (b) 将 右端整理成： 注意，这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。 显然，β是两曲线交点对应的所有值。式(c)称为特征方程。 β称为特征值。分别为β1、 β2…… βn。 …. 将无穷个解叠加： 至此，我们获得了无穷个特解： 利用初始条件 求An 解的最后形式为： 令βnδ=μn 傅里叶准则 — 无量纲距离 定义无量纲的热量 其中Qτ为0??时间内传导的热量（内热能的改变量） 为?至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量） 设从初始时刻至某一时刻?所传递的热量为Q: 是?时刻物体的平均过余温度。 2 非稳态导热的正规状况阶段 当Fo 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故当Fo 0.2时: 其中?1?是第一特征值，是Bi的函数。 Bi 0.01 0.05 0.1 0.5 1.0 5.0 10 50 100 ? ?1? 0.0998 0.2217 0.3111 0.6533 0.8603 1.3138 1.4289 1.5400 1.5552 1.5708 3 采用海斯勒（Heisler）图计算 对于 Fo?0.2 时无限大平壁的非稳态导热过程，温度场可按公式计算；也可用诺谟图计算，其中用于确定温度分布的图线称为海斯勒图。 为平板中心的过余温度 无量纲的热量 如何利用线算图 a）对于由时间求温度的步骤为，计算Bi数、Fo数和x/δ ，从图中查找θm/ θ0 和θ / θm ，计算出 ，最后求出温度t b) 对于由温度求时间步骤为，计算Bi数、 x/δ和θ / θ0 ,从图中查找θ / θm, ，计算θm/ θ0然后从图中查找Fo,再求出时间? 。 c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算Q0和Bi数、Fo数之后，从图3-6中Q/Q0查找，再计算出 Fo数及Bi数的影响： (1)当Bi数一定时， ?随Fo的增加而减小，即随着时间的增加（ Fo增加），物体温度越来越接近流体温度。 (2)当Fo数一定时，Bi越大（1/Bi越小）， ?m/?0就越小，这是因为Bi=h? /?越大，表面换越强，中心温度就越快地接近周围液体温度。 当1/Bi=0时，表面温度一开始就达到液体温度，中心温度变化也最快，这条线代表第一类边界条件。 (3)从图3-5可看出，当1/Bi 10，即Bi0.1时，所有曲线上的过余温度差值小于5%，这时可以用集总参数法求解而误差不大。一般为了得到更高精确度，可使Bi0.01为下限，误差极微。 例：一块厚100mm的钢板放入温度为1000℃ 的炉中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始温度 t0=20℃，求受热面加热到500℃所需时间，及剖面上最大温差。(h = 174 W/(m2·K), ? = 34.8 W/(m·K), a=0.555×10-5 m2/s) ?解：这一问题相当于厚200mm平板对称受热问题，必须先求?m/?0，再由?m/?0、Bi查图求Fo。 ?w/?m可查图3-5。而 由?m/?0和Bi从图3-4查得Fo=1.2（较困难）。 又x/?=1, 从图3-5(p34)查得 ?w/?m=0.8. 求中心（绝热面）温度: 求剖面最大温差: 讨论: 直接计算: 查表得 ??1 = 0.6533, 另： 由温度分布式 得 Fo = 1.196. 第二章作业 习题：2-2，2-4，2