13第三章泊松过程讲述.pptVIP

第三章 泊松过程 泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程 例如： 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； 火车站某段时间内购买车票的旅客数； 机器在一段时间内发生故障的次数； 独立增量过程 平稳增量过程 非齐次泊松过程 允许速率或强度是t的函数 定义3.4： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立增量过程； 非齐次泊松过程的均值函数为 定理3.5： 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 非齐次泊松过程，则有 或 例题3.8 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 的非齐次泊松过程（ω≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。 解:E[X(t)]= D[X(t)] 例题3.9 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望? 解： 复合泊松过程 定义3.5： 设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令 则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。 N(t) Yk X(t) 在时间段(0,t]内来到商店的顾客数 第k个顾客在商店所花的钱数 该商店在(0,t]时间段内的营业额 例如： 到达体育场的公共汽车数是一泊松过程,而每辆公共汽车内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内的乘客数Yn服从相同分布,且又彼此统计独立,各辆车的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的,则到达体育馆的总人数X(t)是一个复合泊松过程. * * 泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程 定义： 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件： N(t) ≥0; N(t)取正整数值以及0； 若st，则N(s) ≤N(t)； 当st时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。 计数过程 则计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。 则计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。 定义3.2： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是(平稳)独立增量过程； 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ0的泊松分布，即对任意s,t≥0，有 泊松过程同时也是平稳增量过程 表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为泊松过程的速率或强度 定义3.3： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立、平稳增量过程； X(t)满足下列两式： 在充分小的时间内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。 (2)证明定义3.2和定义3.3是等价的。 泊松过程的数字特征 设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且st，有 由于X(0)=0，所以 一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为 时间间隔Tn的分布 设{X(t),t≥0}是泊松过程，令X(t)表示t时刻事件A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。 定理3.2： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/λ的指数分布。 证明 即:对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为 其概率密度为 所以,T1服从均值为1/λ的指数分布。 证明： 所以,T2也服从均值为1/λ的指数分布。 同理可以证明：对于任意的n=1,2,…,事件相继到达的时间间隔Tn也服从均值为1/λ的指数分布 等待时间Wn的分布 等待时间Wn是指第n次事件A出现的时刻(或第n次事件A的等待时间) 因此Wn是n个相互