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2012年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 一、选择题（共小题，每小题分，共3分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分） （A）已知一次函数的图经过一、二、三象限，则A） （B） （C） （D） 【答】C． 解：一次函数的图经过一、二、三象限图 解得． 3．如图，在⊙O中，，给出下列三个 结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30° 时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【 】 （A），所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：，解得． 4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】 （A） （B） （C） （D） 【答】B． 解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是. 5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共 有【 】 （A），可得， 以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4， 可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出． 6．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】 （A） （B） （C） （D） 【答】A． 解：的顶点坐标是，设，，由得，所以． 二、填空题（共小题，每小题分，共3分） ，则的值为 ． 【答】7． 解：． 8．方程的解是 ． 【答】． 解： . ∴，解得 . 9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0）， 若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转 90°得到线段，则点的坐标是 ． 【答】． 解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别 为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BD． 由于点A的 坐标是，所以，，所以点的坐标是． 10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ． 【答】2． 解：连接MN，显然将扇形AED向右平移 可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND的面积，等于． 11．已知α、β是方程的两根，则的值为 ． 【答】． 解：∵α是方程的根，∴． ∴ ， 又 ∵ ∴ =． 12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个． 【答】36． 解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145，解得≤36，所以小朋友的人数最多有36个． 三、解答题（题分，共分） ，个位数字为（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分，依题意，得 ， 整理，得 x、y均为0 ~ 9的整数， ∴ 此时 ∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分，依题意，得 ， 整理，得 ，故x为偶数，又 ∴ ∴ 此时 ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分分、，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为． （1）求k的取值范围； （2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围． 解：（1）直线经过P，∴ ． ∵B，A，BD=BA，∴ 点D的坐标是， ∴ BD的解析式是, 依题意，得 ，∴ ∴ 解得……………………………………………7分 （2）且k为最大整数，∴. 则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分 又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为． 解方程组得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为， ∴．解得 ．…………………………