(lecture_03)递推求解教程.ppt

ACM程序设计 杭州电子科技大学 刘春英 acm@hdu.edu.cn 今天， 你 了吗？ 每周一星（2）： 第三讲 递推求解 先来看一个超级简单的例题: 有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？ 显然可以得到如下公式: Fibnacci 数列： 思考: 递推公式的伟大意义——？ 简单思考题: 在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。 是不是这个—— F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n; 太简单了? 例:（2050）折线分割平面 问题描述： 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块? 样例输入 1 2 样例输出 2 7 思考:如何用递推解决? 另外一种结论: Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n^2 – n + 1 趁热打铁， 总结：递推求解的基本方法： 首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 分析思路： 得到如下递推公式： 最后一个思考题（有点难度） 分析过程（1） 设：F(n)表示n个人的合法队列，则： 按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论： 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1); 分析过程（2） 2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况： 分析过程（3） 2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有F(n-2); 分析过程（4） 2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然，这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是尾巴，就是说，这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4). 结论： 所以，通过以上的分析，可以得到递推的通项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) ? (n3)然后就是对n=3 的一些特殊情况的处理了，显然：F(0)=1 ? (没有人也是合法的，这个可以特殊处理，就像0的阶乘定义为1一样) ? F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4 课后任务： DIY在线作业: 《ACM程序设计》在线作业（3）—— 递推求解练习 下一讲： 动态规划（1） Welcome to HDOJ Thank You ~ 每周一星（2）： 不容易系列之(3) —— LELE的RPG难题 有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法. 附加题（看看效果～）： * * AC dragon 如果所坐的不是5人而是n人，写出第n个人的年龄表达式。 化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2 即：1、2、3、5、8、13、21、34… 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？） 化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1; 来个稍微麻烦一些的? 结论—— F(n)=F(n-1)+4(n-1)+1 为什么? 来个差不多的? “佐罗”的烦恼 说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？ 说明1：“Z”的两端应看成射线 说明2：“Z”的两条射线规定为平行的 附加思考题（还没加到OJ）： 然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。 最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。 强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定只是从N-1到N的分析 问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。 思考题：平面分割方法 F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(n-1) 简单分析—— 1 1 3 2 4 1 2 3 4 6 5 7 8 1 2 3 4 5 6 7 10 8 9 11 12 13 14 n=1 n=2