3.4 空间直线.pptVIP

3.4 空间直线 3.4.1. 点向式方程 3.4.2. 参数式方程 3.4.3. 一般式方程 3.4.4. 直线与直线的位置关系 3.4.5. 直线与平面的位置关系 * 3.4.1 点向式方程 方向向量的定义： // 如果一非零向量 平行于一条已知直线L，向量 称为直线L的方向向量． . M0 . M * 直线的点向式方程 直线的一组方向数 * 例 求过空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)的直线方程. 解 s = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), 例 说明： 即，l 在平面 y =2上. * 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 令 代入平面方程得 , 交点 * 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 * 设直线 l 的点向式方程 则 上式称为直线l 的参数方程，t 称为参数，不同的t 对应于直线l 上不同的点. 3.4.2 参数式方程 * 一条空间直线可看成两平面的交线． 空间直线的一般式方程 3.4.3 一般式方程 * 例 将如下直线的一般式方程化为点向式方程 解一 在直线上任取一点M0 取 解得 M0点的坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 * 点向式方程 解二 由解法一已得直线上点M0 的坐标(1, 0, -2), 取 x1 =0, 则 取直线的方向向量为 =(4, -1, -3), 得直线方程为 * 解三 (用高斯消元法——行初等变换) 参数式： 点向式： * 例 确定直线 l 外一点 M0 (x0, y0, z0) 到 l 的距离. 解 设M1(x1, y1, z1)是直线l 上任意一确定的点， M是l 上另一点，且 M1M = s = (m, n, p), 则直线l 的方程为 如图所示平行四边形面积 S = ||M1M0 ? M1M || = || M1M0 ? s || = d ||s || d M0 l M1 . M . 点到直线的距离 * 例 求点 M0(1 ,2, 1) 到直线 l 的距离 解 取 z =0， 得 x =1, y =-1， M1(1, -1, 0)? l. M1M0 = (0, 3, 1). * 直线 直线 1. 两直线的夹角 两直线L1与L2的方向向量 与 的夹角称为 L1与L2的夹角，记为 L1, L2 . 3.4.4 直线与直线的位置关系 * 直线 直线 2. 两直线的位置关系： // * (4) L1 与L2 重合 == s1平行于s2 且平行于 M1M2 (3) L1 与L2 平行但不重合 == s1平行于s2 但不平行于 M1M2 (5) L1 与L2 相交 == s1不平行于s2 且[s1 s2 M1M2] = 0 (6) L1 与L2 异面 == s1不平行于s2 且[s1 s2 M1M2] ≠ 0 * 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． 1、直线与平面的夹角 3.4.5 直线与平面的位置关系 * 直线与平面的夹角公式 * (1) L // Π 2. 直线与平面的位置关系： (2) L ∈ Π (3) L ∩ Π * 解 例 判 定l : 与π: x + 4y – z –1 = 0 的位置关系. 若相交，则求出交点与夹角. 所以l 与π相交. 代入π, 得 所以l 与π交点 * 3. 平面束 设直线l 的一般式方程是 (1) (2) 除方程(2)所表示的平面外，经过直线l 的所有平面都可由下式表示： 经过直线l 的平面全体称为过l 的平面束. 方程(3)称为过直线l 的平面束方程. * 例 求直线 在平面 ?：2x + 2y + z -11=0 上的投影直线. 解1 过直线l 作平面?’与? 垂直，则?’与? 的交线l’就是l 在? 上的投影. 将 l 的方程改写为一般式 过l 的平面束方程为 x + 4y - 24 + ? (3y + z -17) = 0 即 x + (4 + 3 ? ) y + ? z - (24 + 17?) = 0 其法向量为 n’ =(1, 4 + 3 ? , ?), * 例 求直线 在平面 ?：2x + 2y + z -11=0 上的投影直线. 解1 过l 的平面束方程为 x + (4 + 3 ? ) y +