§1高斯消元法论述.doc

第十二章 线性方程组 【】【】【】【】2、不解线性方程组,判断线性方程组的相容性以及相容时解的个数; 3、了解维相量的概念并熟练掌握维向量组线性相关性的判断; 4、了解向量组极大无关组的定义； 5、了解向量组秩的概念; 6、熟练掌握极大无关组的求解问题. 【】【】【】，P，…， P使得 P…PP[A┊B]= [U┊V] 设P= P…PP，因初等矩阵可逆，故P可逆，即P存在。 亦即 P[A┊B]=[U┊V] PA=U，PB=V (或 A=PU，B= PV）是 AX=B 的解,即AX=B 为此有 PAX=PBUX=V,所以X也是UX=V的解. 反之设 X是UX=V的解,即UX=V 为此有 PUX= PVAX=B,所以X也是AX=B的解. 所以 AX=B 与UX=V同解. □ 解线性方程组 解 先将增广矩阵进行如下初等行变换 [A|B]= =[U|V] 所以得到与之同解的线性方程组 即得 若取，则可得原方程组的一个解 □ 以上将方程组的增广矩阵[A┊B]通过初等行变换化为[U┊V]，从而得到与AX=B同解的方程组UX=V的解法就称为高斯消元法. 根据命题12.1及上面的例1,可归纳出应用高斯消元法解线性方程组(12.1)的一般步骤 (i)先将线性方程组(12.1)的增广矩阵 [A┊B]= [U┊V], (12.3) (ii)若,则方程组(12.1)无解,这时称(12.1)为不相容方程组; 若,则方程组(12.1)有解,这时称(12.1)为相容方程组. (iii) 若,则根据(12.3)写出方程组(12.1)的一般解 (12.4) 这里称为自由未知量,共有n-r个;若让x 取定一组值,则可通过 (12.4)算出相应的值,即可得方程组(12.3)的 一个确定解. 例2 解线性方程组 解 先将增广矩阵化为形式(12.3)的阶梯阵 [A┊B]= =[U┊V]. 显然方程组有解,它的 一般解为 若取定一组值,则可算出,为此就得到的一个确定解. §2线性方程组的相容性定理 在上一节中，我们在求解线性方程组时，是先把其增广矩阵[A|B]化为如形式（12。3）的阶梯行矩阵，尔后视是否为零来判定线性方程组是否有解（相容）；另外，由第十一章的命题11.11知，一个矩阵化为阶梯行矩阵后其非零行的行数就是该矩阵的秩。而利用初等行变换求解线性方程组属同解变形，初等行变换也不改变矩阵的秩，为此，可利用矩阵的秩来刻划线性方程组是否有解（相容）;(2); (3) 解 对各方程组的增广矩阵实施初等变换 (1) [A┊B]= 因为秩[A┊B]=3≠秩A=2,所以线性方程组无解. (2)[A┊B]= 因为秩[A┊B]=秩A=2＜3(未知数个数),所以线性方程组有无穷多解.即 (3)[A┊B]= 因为秩[A┊B]=秩A=3(未知数个数),所以方程组有唯一解. 即 □ 例2 当为何植时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解? 解 对方程组的增广矩阵实施初等行变换得 [A┊B]= (i) 当即时,方程组无解. (ii) 当为任意数时,方程组有唯一解.其解为 (iii) 当即时,方程组有无穷多解.其一般解为 (是自由未知量) □ 对于齐次线方程组(12.2),因为其为增广矩阵是[A┊O],所以总有 秩 A = 秩 [A┊O],即齐次先性方程组永远有解;事实上,永远都满足齐次线性 方程组(12.2),这样的解称为线性方程组(12.2)的零解.为此,重要的是如何判定是否有非零解?由命题12.3立即可得; 命题12.4 齐次线性方程组(12.2)有非零解的充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知的 个数. 在同一平面内, 已知存在非零向量,求. 解 设非零向量同时垂直于三个已知向量.为此有 对增广矩阵(或系数矩阵)实施初等行变换如下 A= 所以求得 □ 另外,在 齐次线性方程组(12.2)中,如果它的系数矩阵A是个 方阵的话,那么齐次线性 方程组(12.2)有非零解的充要条件就是 |A|=0 ,而齐次线性方程组(12.2)只有零解的 充要条件是|A|.以上结论可由前面的命题直接推出. §3 n维向量及n维向量的线性相关性 一、n维向量的定义 在本书第六章里，我们已学过向量的概念，即在取定一个坐标系下，一个