概率论与数理统计第2章解说.ppt

第二章 随机变量与概率分布 1 随机变量 2 离散型随机变量的概率分布 3 随机变量的分布函数 4 连续型随机变量的概率密度 5 随机变量函数的分布 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽站， 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 则称 X 服从参数为 的指数分布. 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命. （2）若 r.v X具有概率密度 常简记为 X~E( ) . 例8. 设某器件寿命X服从参数为?的指 数分布，求此器件使用 a(a0)的概率；已知 该器件已使用t (t 0)年，求再使用a年的概率。 X的密度函数为： 解： P{Xa}= = ?－a? ??－?x x0 0 x?0 f(x)= P{Xa+t / Xt}= P{Xa+t且Xt} P{Xt} P{Xa+t} P{Xt} = = ?－a? 两概率相同此性质称为无记忆性 (3)、正态分布的定义及图形特点 若r.v X的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 正态分布 的密度函数图形特点 (1)正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线. (2).当x ±? 时，以X轴为渐近线. (3).在x=?处取最大值。 (4). ?越大越平缓，?越小越陡峭。 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 设X~ , X的分布函数是 ? 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： ,则 ~N(0,1) 设 定理 1： 书末的标准正态分布函数数值表，可解决正态分布的概率计算. 表中给的是x0时, Φ(x)的值. 若 ~N(0,1) 若 X～N(0,1), 例9.设电源电压 U～N(220, 625) (单位:V)，通常有3种状态；ⅰ.不超过200V； ⅱ.在200～240之间； ⅲ. 超过240V。在上述3状态, 某电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2。求: (1).元件损坏的概率。 (2).在元件损坏情况下，分析电压所处状态。 ? U～N(220, 625) ? P{A1}=?( 200－220 25 ) =0.2119 =1－?(0.8) 考虑到对称性 P{A3}= P{A1}= 0.2119 解：设Ai为电压处在i状态。i=1, 2, 3 设B为元件损坏； P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3) = 0.2119×0.1+0.5762×0.001+0.2119×0.2 ? 0.0642 P{A1 /B}= P(A1)P(B/A1) P(B) ? 0.330 类似：P{A2 / B} ? 0.009; P{A2 / B} ? 0.660 所以电器损坏时, 电压处在高压状态可能性最大, 而处在(200~240)可能性很小, 几乎是不会的。 P{A2}=1－2×0.2119=0.5762 例10. 某大型设备在t时间内发生故障次 数N(t) 服从参数为?t的Poisson分布，T表示 相邻两次故障之间的时间间隔； 求：(1).T 的密度函数。(2).1次故障修复后无故障运行 8小时的概率。(3).设备已无故障工作t0小时， 再无故障工作8小时的概率。 解：(1)先求T的分布函数。 当t0时：F(t)=P{T?t}=0 当t?0时：F(t) =P{T?t} = 1－?－?t =1－ P{N(t)=0} = ?F(t)= 1－?－?t t?0 0 t0 故T的密度函数: f(t)=F?(t)= 1－P{Tt} ??－?t t?0 0 t0 (2). P{T8}=1－F(8)= ?－8? (3). 根据指数分布无记忆性：