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关于在大小正比于距离的平方的引力场下轨迹的推导 08级转系生0812840 关佳其 库仑定律： ，万有引力定律：均为有心力，他们形成的势场均是与距离成反比的中心势场。其中库仑静电势可以是引力势，斥力势；后者为引力势。 下面主要就万有引力中的引力势场加以阐释并尝试推导运动轨道方程： 首先，在引力场中，假设一中心物体质量为M（比方说太阳），另一质量为m的物体（地球）受到其引力作用在该场中运动，Mm。二者之间万有引力： 该力对太阳作用力可忽略，故太阳看做静止不动的物体，我们只分析地球的运动情况。 地球的引力势能： 令，那么引力势能写成： . 地球m，看作质点，显然作用在质点上的力矩为零，质点角动量守恒。那么，以力心（太阳M）为坐标原点，质点初始时刻失径和初速度两个矢量便可确定一个平面，力和速度均在这个平面内，因此质点将恒在此平面内运动。 取平面极坐标进行分析： R=R （1） 其中L=const. 由于能量守恒， （2） E=const. 将（1）代入（2），消去，可以将此方程化为只是关于r及其微分的方程，从而便于定量分析求解。 新得到的方程为： 这是一个关于r的微分方程，不易解出r的方程，换种思路： 故，利用此式将t求出，得： 故： 其中，r是关于t的函数。消t。 （） 此为m的轨道的方程式。 进一步积分得到： 可以选取适当的计算起点，使得上式中const=0 引入符号： ， 所以轨道方程即可写成： 即使我们所熟悉的圆锥曲线方程。 e为离心率。 e1时，E0,为双曲线； e1时，E0，为椭圆； e=1时，E=0,为抛物线。 对于地球来讲，是第二种情形，即地球轨道为椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。