线性代数第一章行列式习题.pptVIP

* * 要求: 1.知道n阶行列式的定义 2.了解行列式的性质 (包括按行(列)展开定理) 3.掌握行列式的计算 4.会用克莱姆(Cramer)法则 第一章 行 列 式 例1. 按定义计算下列 n 阶行列式 ? (12… n) = 0 对角形 第一节 n 阶行列式的定义 ? (n n–1… 1) = (n–1) + (n–2) +… + 2 +1= n(n–1)/2 次对角形 = ? = ? 下三角形 上三角形 = ? ? (n n–1… 1) = (n–1) + (n–2) +… + 2 +1= n(n–1)/2 证明:由行列式的计算定义,有 第二节 行列式的性质与计算 记号: 例1(p12-li1-4):计算行列式 例2(p14-li5).证明奇数阶反对称行列式等于0. 定义:当行列式中的元素满足 ,称此行列 式为反对称行列式 计算 例3 0 0 对 只要重复以上过程，就可得 对 由于字母的地位对称,故做另外的分解又有 （1） （2） 联立(1)(2)得 当 时 当 时,通过计算还是有上面的结论. 证明等式 exe1 证: 左边 第1列减去第2, 3列 = 右边 = 0 = 0 exe2 计算行列式 解: D 把c2,c3,c4 列加到c1列 c1×(–1)分别 加到第2, 3, 4列 = 6 ? 23 = 48 第三节 Laplace 展开定理 基本思想: 化高阶行列式为较低阶的行列式. 定义: 中,划去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 行, 得到的n–1阶行列式称为 aij 的余子式. 在 n 阶行列式 例1: 元素 –4(a12)的余子式为M12 其代数余子式为 A12 = (–1)1+2 M12 = –9 例2. 计算行列式 解: D =c3+c4 c4 =－2c3+c1 c1 按第3行展开 按第3列展开 = 30 + 10 = 40 r2 =r1+r2 例3. 设D是4阶行列式, 是D中 的代数余子式, 试用行列式表示下列代数式,其中 p211i1 例4. 计算2n阶行列式 递推法 P23li3 例5. 证明Vandermonde行列式 数学归纳法 其中n1. P23li4 2.Vandermonde行列式的第一行的元素为1,且每列的元素构成一等比数组. 注:1.Vandermonde行列式的结论今后可以直接应用. * *