数理统计习题(期末复习资料）.docx

数据的描述和整理 1．测得10名接触某种病毒的工人的白细胞（109/L）如下： 7.1，6.5，7.4，6.35，6.8，7.25，6.6，7.8，6.0，5.95 （1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。 （2）求出该组数据对应的标准化值； （3）计算其偏度。 解：（1），n=10 462.35 样本均值 方差 标准差=≈0.609 标准误 变异系数CV===8.99%； （2）对应的标准化值公式为 对应的标准化值为 0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355； （3）=0.204。 2. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示 按月人均支出分组（元）家庭户数占总户数的比例（%）200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上1.5 18.2 46.8 25.3 8.2合计100 试计算（1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差； （2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。 解：（1）由原分组数据表可得 支出分组（元）组中值比例（%）200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上100 350 650 900 11001.5 18.2 46.8 25.3 8.2 则 ； （2）由原分组数据表可得 支出分组（元）比例（%）累积比例（%）200以下 200～ 500～ 800～ 1000以上1.5 18.2 46.8 25.3 8.21.5 19.7 66.5 91.8 100 中位数所在组，即累积比例超过50的那个最低组，即为500～组。 众数所在组是频数即比例最大的组，也是500～组。 3．设x1, x2, …，xn和y1, y2, …，yn为两组样本观察值，它们有下列关系： i=1,2,…,n 其中a、b为常数且b≠0，求样本均值与及样本方差和之间的关系。 解： 。 随机事件与概率 1口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的概率。 =0.5。 2房间里有10个人，分别佩戴着1～10号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念章号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：设A={任选三人中最小号码为5}，B={任选三人中最大号码为5} （1）对事件A，所选的三人只能从5～10中选取，而且5号必定被选中。 ； （2）对事件B，所选的三人只能从1～5中选取，而且5号必定被选中。 。 3．设P(A)=0.5，P(B)=0.3且P(AB)=0.l。求：（1）P(A+B)；（2）P(+B)。 解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.5+0.3－0.1=0.7； （2）P(+B)= P()+P(B)－P(B)=[1－P(A)]+P(B)－P(B－A) =1－P(A) +P(B)－[P(B) －P(AB)]= 1－P(A) + P(AB) =1－0.5+0.1=0.6。 4．设A,B为任意两个事件，且P(A)＞0，P(B)＞0。证明： （1）若A与B互不相容，则A和B不独立； （2）若 P(B|A)=P(B|)，则A和B相互独立。 证明：（1）用反证法。假定A和B独立，因为已知A与B互不相容，则 AB=?，P(AB)= P(?)=0 故 P(A) P(B)= P(AB)=0 但由已知条件P(A)＞0，P(B)＞0得P(A) P(B)0，由此导出矛盾，所以若A与B互不相容，则A和B不独立。 （2）由已知P(B|A)=P(B|)，又 ， 则 即 P(AB)[1－P(A) ]= P(A)[P(B)－P(AB)] P(AB)－P(AB)P(A) = P(A)P(B)－P(A)P(AB) 故 P(AB) = P(A)P(B) 这即A和B相互独立。 （2）又证：由已知 P(B|A)=P(B|) 即 P(B|A)[1－P(A) ]= P(B)－P(AB) P(B|A)－P(B|A)P(A) = P(B)－P(AB) P(B|A)－P(AB) = P(B)－P(AB) P(B|A) = P(B) 这即A和B相互独立。 5．已知P(A)=0.1，P(B)=0.3，P(A | B)=0.2，求：（1）P(AB)；（2）P(A＋B)；（3）P(B|A)；（4）P()；（5）P()。 解：（1）P(AB)= P(B) P(A | B)=0.3×0.2=0.06； （2