一类广义Witt代数构造及性质讨论.doc

摘要 广义Ｗｉｔｔ代数是一类重要的无限维李代数，近几年来，由Ｏｓｂｏｍ，Ｄｏｋｏｖｉｃ，  Ｋａｉｍｉｎｇ Ｚｈａｏ，Ｘｉａｏｐｉｎｇ Ｘｕ和Ｙｕｃａｉ Ｓｕ等人的一系列工作，得ＮＴ特征为０的 Ｃａｒｔａｎ型单李代数的阶化线性推广，Ｐａｓｓｍａｍａｎｎ等人对广义Ｗｉｔｔ代数的单性得 到了有价值的结果。 在此基础上，本文讨论一类更广泛的广义Ｗｉｔｔ代数以及它的单子代数％， 本文的前半部分给出了广义ｗｍ代数矿＝矿（峨。＇ｒ’哆乞，的单性判定定理：矿是 单李代数当且仅当伊是非退化的。证明了当』４是有限秩无挠群时，Ｄｅｒ（ＦＡ）是个 单李代数，并且是个广义Ｗｉｔｔ代数。利用Ｒ．Ｆａｍｓｔｅｉｎｅｒ关于阶化李代数的导子 的两个结果，证明了在ｐ的右核为０时，矿的导子可以分解为局部内导子与零次 导子之和，并且具体地描述了一下矽的零次导子的形式。文章的后半部分主要 讨论的单子代数％，它是典型的无限维Ｃａｆｔａｎ型李代数的推广。首先给出％ 的定义以及单性判别条件，然后证明了％的导子也等于它的局部内导子与它的 零次导子之和，并且对％的任意零次导子Ｄ都存在Ｈｏｍ（Ａ，Ｆ），使得  Ｄ【ｒａ）＝（ｘ）ｒａ  Ｖｔ４ａ％ｎ吸。  关键词：广义Ｗｉｔｔ代数：群代数；广义Ｗｉｔｔ代数的导子；广义Ｃａｒｔａｎ 型李代数： Ａｂｓｔｒａｃｔ  Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ  Ｗｉｔｔ  ａｌｇｅｂｒａ ｉｓ  ａｌｌ  ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｋｉｎｄ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｌｉｅ  ａｌｇｅｂｒａｓ．Ｒｅｃｅｎｔｌｙ Ｏｓｂｏｒｎ，Ｄｏｋｏｖｉｃ，Ｋａｉｍｉｎｇ Ｚｈａｏ，Ｘｉａｏｐｉｎｇ Ｘｕ  ａｎｄ  Ｙｕｃａｉ Ｓｕ ｈａｖｅ ｃｏｍｅ ｕｐ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ Ｃａｆｔａｎ ｔｙｐｅ Ｗ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ ｉｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ  ｚｅｒｏ Ｐａｓｓｍａｎｍａｎｎ ｈａｓ ｃｏｍｅ ｕｐ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｖａｌｕａｂｌｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｗｉｔｔ ａｌｇｅｂｒａｓ． Ｏｎ ｗｈａｔ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｂｅｅｎ ａｃｈｉｅｖｅｄ，ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｐａｐｅｒ，Ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ  ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ  Ｗｉｔｔ  ａｌｇｅｂｒａｓ  ａｎｄ ｓｔｕｄｙ  ｉｔｓ  ｓｏｍｅ  ｓｉｍｐｌｅ  ｓｕｂａｌｇｅｂｒａｓ％ｗｈｉｃｈ  ｉｓ  ａｎａｌｏｇｕｅｓ ｏｆｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｉｎｆｉｒｆｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｉｍｐｌｅ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ ｏｆＣａｆｔａｎ ｔｙｐｅ  Ｗ． Ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ ｈａｌｆ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，Ｗｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｃｅｎｔｒｅ ｏｆ Ｗ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ  ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｒｏｕｇｈｌｙ ｓｐｅａｋｉｎｇ，ｉｔ ｓａｙｓ ｔｈａｔ ｉｆ  ｃｈａｒＦ＝０，ｔｈｅｎ矿ｉｓ  ｓｉｍｐｌｅ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ  ｉｆ Ａ≠０  ａｎｄ口ｉｓ  ｎｏｎｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ．Ｉｆ Ａ  ｉｓ  ａ ｎｏｎｚｅｒｏ  ｔｏｒｓｉｏｎ－ｆｌｅｅ ａｂｅｌｉａｎ ｇｒｏｕｐ ｏｆ  ｆｉｎｉｔｅ  ａ  Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ  ａ  ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ  Ｗｉｔｔ  ａｌｇｅｂｒａ．Ｔｈａｎｋｓ  ｔｏ ｔｗｏ ｒｅｓｕｈｓ ｏｆ  Ｒ．Ｆｒａｎｓｔｅｉｎｅｒ  ｏｎ  ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇｒａｄｅｄ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｗ．Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｅｒ ｈａｌｆ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｓｕｂａｌｇｅｂｒａ  ％ｏｆ Ｗａｎｄ  ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ  ｆｏｒ％ｔＯ  ｂｅ ｓｉｍｐｌｅ．  Ｗｅ  ａｌｓｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ  ａ  ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ  ｏｆ％ｉｓ  ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ  ａ  ｌｏｃａｌｌｙ ｉｎｎｅｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ａｎｄ  ａ  ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ０．  Ｋｅｙ  ｗｏｒｄｓ：Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ  Ｗｉｔｔ  ａｌｇｅｂｒａ；Ｇｒｏｕｐ  ａｌｇｅｂｒａ；Ｔｈｅ  ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ａｌｇｅｂｒａ