一个基于NCP函数非线性Lagrange函数.doc

辽宁师范大学硕士研究生学位论：艾  摘  要  研究发现，著名的近似增广Ｌａｇｒａｎｇｅ函数可以由ｍｉｎｉｍｕｍ函数产生．由著名的 Ｆｉｓｃｈｅｒ－Ｂｉｌｒｍｅｉｓｔｅｒ函数通过相同的构造方式可产生一个非线性Ｌａｇｒａｎｇｅ函数，并且 基于该函数的对偶算法具有很好的收敛性质．本文基于一个修正的Ｆｉｓｃｈｅｒ—Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ ＮＣＰ函数，提出了一个求解具有不等式约束的非线性优化问题的非线性Ｌａｇｒａｎｇｅ函数， 建立了相应的理论框架．具体内容包括： １．第１章主要提出了一个基于修正的Ｆｉｓｃｈｅｒ－Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ ＮＣＰ函数的非线性 Ｌａｇｒａｎｇｅ函数，在一定的假设条件下，分析了该函数在Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ点（ｘ４，“＋）处性质． 此外，讨论了基于该函数的非线性Ｌａｇｒａｎｇｅ方法的收敛性．收敛定理表明：当惩罚参数 小于某一阈值时，基于该函数的对偶算法具有局部收敛性质，且对偶解的误差界与惩罚 参数有关．最后，讨论了该函数的Ｈｅｓｓｅ阵在最优点处的条件数，通过分析得知，该函 数的Ｈｅｓｓｅ阵在最优点处的条件数与惩罚参数ｔ。１成比例，．这表明在实际计算中ｔ不应太 小，否则，我们在应用与Ｈｅｓｓｅ阵的条件数相关的一些求解无约束优化问题的方法时， 会遇到求解ｍｉｎＦ（ｘ，Ｕ，ｔ）的数值困难． 工上品“ ２．第２章基于对偶函数ｄ（ｕ，ｔ）＝Ｆ（ｘ（ｕ，ｆ），“，ｔ）发展了相应的对偶理论．首先，证明了在 给定的假设条件和Ｓｌａｔｅｒ条件下，原问题和对偶问题在：最优点处的目标函数值相等．其 次，基于该函数建立了对偶算法． 关键词：非线性优化；非线性Ｌａｇｒａｎｇｅ函数；ＮＣＰ函数；收敛性 一个基于ＮＣＰ函数的非线性Ｌａｇｒａｎｇｅ函数  Ａ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ Ｂａｓｅｄ Ａｂｓｔｒａｃｔ  ｏｎ  ＮＣＰ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ  Ｉｔ ｉｓ  ｖｅｒｙ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｗｅｌｌ—ｋｎｏｗｎ ｐｒｏｘｉｍａｌ  ａｎｇｍｅｎｔｅｄ  Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ  ｉｓ  ｊｕｓｔ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｍｉｎｉｍｕｍ ＮＣＰ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ，ｔｈｅ ｆａｒａｏｕｓ Ｆｉｓｃｈｅｒ—Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ ＮＣＰ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃａｎ ａｌｓｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ，ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｗｅｌｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｔｈｉｓ ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｆｉｓｃｈｅｒ－Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ ＮＣＰ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．． １．Ｃｈａｐｔｅｒｌ ｍａｉｎｌｙ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｆｉｓｃｈｅｒ—Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ ＮＣＰ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ Ｋｕｈｎ．Ｔｕｃｋｅｒ ｐｏｉｎｔ（Ｘ＊９纠。）ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＮＣＰ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｉｎｔｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｉｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｌａｇｒａｎｇｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｌｏｃａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｅｎａｌｔｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ａ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｕｎｄｅｒ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｔｈｅ  ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄ ｏｆ ｄｕａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｐｅｎａｌｔｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ａｌｓｏ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｌａｇｒａｎ