3-6曲线的凹凸与拐点.pptVIP

第六节　曲线的凹凸与拐点 定义2 定理.(凹凸判定法) 定理.(凹凸判定法) 例3. 判断曲线 例4. 求曲线 例5. 求曲线 内容小结 曲线 x2 x O x1 y x1 y f(x1) f(x2) x2 x x1 O f(x1) f(x2) (1) 若恒有 定义1.设函数 f(x) 在区间 I 上连续 , 则称 f(x)在 区间 I 上的图形是凹的; (2) 若恒有 则称f(x)在 区间 I 上的图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 . 则f(x)在[a, b]上的图形是凹的； 在(a, b)内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在(a, b)内 (2)若在(a, b)内 则f(x)在[a, b]上的图形是凸的. 证明: (1)设x1和x2为[a, b]内任两点且x1x2,记 并记 ，则 由拉格朗日中值公式,得 其中 两式相减，得 设f(x)在区间 [a, b] 上连续 , 证明: 1 设x1和x2为[a, b]内任两点且x1x2,记 并记 ，则 由拉格朗日中值公式,得 其中 两式相减，得 对f (x)在区间 上再利用拉格朗日中值公式 其中 所以f(x)在[a, b]上的图形是凹的； 得 同理可证(2)． (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 证法2: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 . 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 作业 P , ; 思考与练习 有位于一直线的三个拐点. 1.求证曲线 证明： 备用题