巧借性质作二次曲线的切线.docVIP

巧借性质作二次曲线的切线 几何画板动态探究数学问题的功能，使原本抽象枯燥的数学变得直观生动，在运动变化中揭示数学问题的本质规律.本文借助于几何画板对二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的切线、割线进行了深入探究，研究并发现了与之相关的几个性质，在此基础上总结出了二次曲线切线的一个简洁的作图方法. 1、点在二次曲线外 性质1：如图1，点P是二次曲线（以椭圆图形示意）外一点，PA、PB是过点P的切线，A、B为切点，连接A、B得直线.过点P任意作二次曲线的两条割线，分别交曲线于C、D和E、F四点，连接CF、DE，交于点M，连接CE、DF并延长交于点N，则点M、N都在直线上. 对于上述结论，其逆命题也是正确的，具体如下: 推论1：点P是二次曲线外一点，过点P任意作曲线的两条割线，记交点分别为C、D和E、F，连接CF、DE，交于点M，连接CE、DF并延长交于点N，连接M、N得直线，与二次曲线的交点为A、B，连接PA、PB，则PA、PB就是过点P的切线，A、B为切点. 特别的，如果CE//DF，则只需过点M作直线，与二次曲线的交点为A、B，连接PA、PB，则PA、PB就是过点P的切线，A、B切点，如图2. 推论1实质上就是给出了如何过二次曲线外一点P作该曲线的切线的方法，具体步骤如下： 第一步：过点P任意作二次曲线的两条割线，交点分别为C、D和E、F； 第二步：连接CF、DE，记交点为M，连接CE、DF并延长，记交点为N； 第三步：连接M、N得直线，与二次曲线的交点为A、B； （如果CE//DF，过点M作直线，与二次曲线的交点为A、B） 第四步：连接PA、PB，则PA、PB就是过点P的切线，A、B为切点. 2、点在二次曲线上 性质2：如图3，点P是有心二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上的一点，直线是过点P的切线.O是曲线的对称中心，连接OP并延长，在OP的延长线上任取一点Q，过点Q作曲线的切线QA、QB，A、B为切点，连接AB，则. 如图4，点P是无心二次曲线（抛物线）上的一点，直线是过点P的切线.过点P作与对称轴平行的直线，在上（抛物线外）任取一点Q，过点Q作曲线的切线QA、QB，A、B为切点，连接AB，则. 对于上述结论，其逆命题也成立，具体如下： 推论2：点P是有心二次曲线上的一点，O为对称中心，Q为OP延长线上的任意一点，过点Q作曲线的切线QA、QB，A、B为切点，连接AB，过点P作，则直线就是过点P的切线. 点P是无心二次曲线上的一点，过点P作与对称轴平行的直线，在上（抛物线外）任取一点Q，过点Q作曲线的切线QA、QB，A、B为切点，连接AB，过点P作，则直线就是过点P的切线. 推论2实质上就是给出了过二次曲线上的一点P作曲线的切线方法，具体步骤如下： 第一步：连接OP（O为曲线的中心），在OP的延长线上任取一点Q； （若是抛物线，则在过P且与对称轴平行的直线上任取一点Q） 第二步：过点Q作曲线的切线QA、QB，A、B为切点，连接AB（该过程见前面过曲线外一点作曲线切线的步骤）； 第三步：过点P作，则就是过点P的切线. 对于推论2中的有心二次曲线，当图3中点Q趋向于无穷远处时，线段AB就趋向于与点P相对应的共轭直径，据此有下面结论： 性质3：如图5，线段PQ、AB是有心二次曲线的一对共轭直径，是过点P的切线，则. 该结论的逆命题仍然成立，具体描叙如下： 推论3：线段PQ、AB是有心二次曲线的一对共轭直径，过点P作直线，则直线是过点P的切线. 推论3实质上就是给出了过有心二次曲线上的一点P作曲线的切线方法，具体步骤如下： 第一步：连接PO（O为曲线的对称中心）得直线（如图6）； 第二步：作的平行线，交曲线于M、N两点，记MN的中点为C； 第三步：连接CO，得直线（就是与点P相对应的共轭直径所在的直线）； 第四步：过点P作，则就是过点P的切线.