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含2倍角条件的几何题目一种常见的辅助线 几何题目的证明过程是一个推理过程，而推理的依据是已有的定义、定理、公理等，对于某一个具体几何题目的条件（已知）是进行推理的前提条件，因为几何题目的条件（已知）必须通过分析“转化”为已有的定义、定理、公理等的“条件”部分，进而得到“结论”从而完成一个推理过程。由此看出几何题目的条件（已知）及由几何题目的条件（已知）“转化” 为已有的定义、定理、公理等的重要性。所以了解掌握一些“条件”常涉及到的定义、定理、公理、辅助线以及应用方法是很有必要的。 下面通过题目对含2倍角条件的几何题目常用的定理及一种通用的辅助线作一简单介绍。 例1如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是高。 求证：DC=AB+BD 证明：延长CD到E，使BE=AB，连接AE ∵BE=AB ∴∠E=∠EAB ∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠EAB ∴∠E=∠C ∴AE=AC ∵AD⊥EC ∴DC=DE ∵ED=BD+EB= BD+AB ∴DC=AB+BD 例2如图2，△ABC中，∠B=2∠C，AD是角分线。 求证：AC=AB+BD 证明：延长CD到E，使BE=AB，连接AE ∵BE=AB ∴∠E=∠EAB ∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠EAB ∴∠E=∠C=∠EAB ∴AE=AC ∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠EAD=∠BAD+∠EAB，∠DAC=∠BAD ∴∠ADE=∠EAD ∴AE=ED ∵ED=EB+BD，BE=AB ∴ED=AB+BD ∴AC=AB+BD 例3如图3，△ABC中，∠C =2∠B，BC=2AC。 求证：∠CAB=900 证明：延长BC到D，使CD=AC，连接AD，作AE⊥BC，E为垂足 ∵CD=AC ∴∠D=∠CAD ∵∠DCA =2∠B，∠DCA =∠D+∠CAD ∴∠D=∠B ∴AD=AB ∵AE⊥BC，E为垂足 ∴DE=BE ∵BC-CE=CD+CE，BC=2AC，CD=AC ∴CE=AC ∴∠CAE=300 ∴∠ACE=600 ∴∠B=300 ∴∠CAB=900 例4如图4，△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，F是BC的中点。 求证：DF=AB 证明：延长CD到E，使BE=AB，连接AE ∵BE=AB ∴∠E=∠EAB ∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠E+∠EAB ∴∠E=∠C ∴AE=AC ∵AD⊥EC ∴DC=DE ∵DC=DF+FC，DE=DB+BE， ∴DF+FC=DB+BE ∵DB=BF- DF，BF=FC ∴DF=BE ∵BE= AB ∴DF=AB 例5如图5，△ABC中，∠A=2∠C。 求证：BC2-AB2=AB·AC 证明：延长BA到E，使EE=AC，连接CE ∵EE=AC ∴∠E=∠ECA ∵∠BAC=2∠BCA，∠BAC=∠E+∠ECA ∴∠E=∠BCA ∵∠EBC=∠ABC ∴△CBE∽△ABC ∵ ∴BC2=AB2+AB·AC ∴BC2-AB2=AB·AC 通过以上例题的介绍可以看出含2倍角条件的几何题目的最常见的一种辅助线就是作2倍角一边的反向延长线与另一边构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质、判定进行推理论证，最终完成证明过程。 A E B C D D C B E A 图1 图2 C B A 图3 E D 图4 D C E A B 图5 C E A B · F