15抛物线中的三角形四边形的面积问题.docxVIP

抛物线中的三角形问题 等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px (p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是 (　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 答案：B 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 【解析】　不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝eq \f(p,2).代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝eq \f(1,2)×6×12＝36. 【答案】　C 已知抛物线y2＝2px(p0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为(　　) A．1　　　B.eq \r(2)　　　C．2　　　D．2eq \r(2) [答案]　C [解析]　抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4＋eq \f(p,2)|＝5，由于p0，故p＝2，|OF|＝1，抛物线方程为y2＝4x，则M(4，±4)，于是S△OFM＝2. 已知A、B在抛物线y2＝2px(p0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是(　　) A．x－p＝0 B．4x－3p＝0 C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0 [答案]　C [解析]　如图所示： ∵F为垂心，F为焦点，OA＝OB，∴OF垂直平分AB. ∴AB为垂直于x轴的直线 设A为(2pt2,2pt)(t0)，B为(2pt2，－2pt)， ∵F为垂心，∴OB⊥AF ∴kOB·kAF＝－1， 即eq \f((2pt)2,(2pt2－\f(p,2))·2pt2)＝－1，解得t2＝eq \f(5,4) ∴AB为x＝2pt2＝eq \f(5,2)p，∴选C. 直线l经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|的值为(　　) A．a＋b B.eq \f(1,2)(a＋b) C．ab D.eq \r(ab) [答案]　D [解析]　根据抛物线的定义，有|PF|＝|PR|，|QF|＝|QS|. ∵∠RFO＝∠FRP＝∠RFP，∠SFO＝∠FSQ＝∠SFQ， ∴∠RFS＝∠RFP＋∠SFQ. ∴△RFS为直角三角形，故|MF|为直角三角形斜边上的中线．在直角梯形PRSQ中，|RS|＝eq \r((a＋b)2－(a－b)2)＝2eq \r(ab). 故|FM|＝eq \f(1,2)|RS|＝eq \r(ab). 直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为(　　) A．48　　　 B．56　　　 C．64　　　 D．72 [答案]　A [解析]　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝x－3))消去y得， x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9,y＝6))， ∴|AP|＝10，|BQ|＝2或者|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，选A. 已知抛物线C：y2＝8x的焦为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝eq \r(2)|AF|，则△AFK的面积为 (　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：由y2＝8x得p＝4，抛物线开口向右，所以F(2,0)，准线方程为x＝－2，则K(－2,0)． 设A(x1，y1)．由抛物线定义得 |AF|＝x1＋2，|AK|＝eq \r(?x1＋2?2＋y\o\al(2,1)). 由|AK|＝eq \r(2)|AF|得 eq \r(?x1＋2?2＋y\o\al(2,1))＝eq \r(2)·(x1＋2)， ∴(x1＋2)2＋8x1＝2(x1＋2)2，解得x1＝2， ∴y1＝±4，S△AFK＝eq \f(1,2)×4×4＝8. 答案：B O为坐标原点，F为抛物线C：y2