幂法和反幂法.ppt

3. Rayleigh商加速 9.3.2 反幂法和原点位移 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。 计算A的按模最小的特征值 的问题就是计算A-1按模最大的 特征值 问题。 反幂法迭代公式： 任取初始向量， 设 为非奇异矩阵,A的特征值满足： ,对应特征向量 线性无关， 则A-1的特征值为 ，特征向量 1、反幂法用来计算矩阵A按模最小的特征值及对应的特征向量 第九章 特征值与特征向量的数值求法 9.3 幂法和反幂法 9.3.2 反幂法和原点位移 9.3.1 幂法和加速方法 幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值 与相应的特征向量的迭代方法。 适合于大型稀疏矩阵 反幂法是计算Hessenberg阵或对角阵 的对应一个给定近似特征值的特征向量 的有效方法. 9.3.1 幂法和加速方法 在一些工程，物理问题中，通常只需要我们求出矩阵的按模最大的特征值(称为A的主特征值)和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，应用幂法是合适的。 幂法是一种计算n阶实矩阵A的主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢． 幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量 ，由矩阵A构造一向量序列{vk}k=0,1,2,…,n (3.1) 称为迭代向量．由此计算按摸最大的特征值和特征向量。 例1 设实对称矩阵A为 利用幂法求A的按模最大特征值。 解：直接求解A的特征方程 得 利用幂法求A的按模最大特征值，任取 迭代公式为 考虑两个相邻向量相应分量之比 即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？ 不一定. 先讨论以下情况： (设 ), (3.2) 于是 其中 由假设，知 从而 即两个相邻迭代向量的对应非零分量成比例,且主特征值为 即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值收敛到主特征值. 这种由已知非零向量 及矩阵A的乘幂 构造向量序列{ } 计算A的主特征值 及相应特征向量的方法称为幂法。 (3.3) (3.4) 由(3.3)式知， 的收敛速度由比值 来确定 越小收敛越快，但当 ≈1时收敛可能就很慢. 总结上述讨论，有 定理1设 有 个线性无关的特征向量，主特征值 满足 ＞ ≥ ≥…≥ ， 则对任何非零初始向量 ， 均成立． 两种特殊情况 例1属于第一种情况的讨论。 一般地， 1. 若迭代向量的各分量单调变化且有关系式 则属于第一种情况。 2.若迭代向量的各分量不是单调变化，且有关系式 则属于第二种情况。 (3.5) （或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克服这个问题， 利用向量的方向与长度无关这一性质, 将迭代向量的长度规范化 以改进幂法。 用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果 , ,迭代向量的各个不等于零的分量将随 而趋于无穷 所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使 向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 或 , ，其中i0为所有绝对值最大的分量 中最小的指标。 3. 幂法的改进 任取初始向量： 迭代 规范化 则有迭代向量序列 及规范化向量序列 。 由(3.7)及(3.8)式有 (1)?? 对规范化向量序列: 先考虑 与计算 的关系。 由于 及 其中 于是， (2)?? 对迭代向量序列: 即 绝对值最大的分量当 时，趋向于特征根 。 注意：改进的幂法中主特征值 不是两相邻迭代向量 的对应非零分量的比值。 （2）设A特征值满足 定理 2 （1）设 有n个线性无关的特征向量； 且 （3） 及 由改进幂法得到的规范化向量序列 序列((3.7)式),则有 且收敛速度由比值 确定。 及迭代向量 改进的幂法 下面我们把改进的幂法简称为幂法。 用（改进的）幂法求矩阵A的主特征值和主特征向量的步骤： 第一步：由v０＝u０，计算 第二步：由v1,u1，计算 第三步：判断 解： 取初始向量 ,按(3.7)迭代5次得到数据如下 表: k