第二部04.第四章函数和方程剖析.ppt

第二部 第四章 函数和方程 学习内容 4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法 4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的MATLAB指令 4.3 计算实验：迭代法 4.4 建模实验：购房贷款的利率 函数和方程主要的MATLAB指令 4.2.1 多项式 多项式： anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 MATLAB中多项式的表示：MATLAB中一个多项式用系数降幂排列向量来表示。 例如: 多项式p1(x)= x3+2x2-5可以表示为： p1=[1 2 0 -5] %一次项为0 注意：不要遗漏一次项系数0 MATLAB的多项式指令 y=polyval(p,x) 求多项式p在x处的值y,x可以是一个或多个点。 p3=conv(p1,p2)返回多项式p1和p2的乘积。 [p3,r]=deconv(p1,p2)p3 返回多项式p1除以p2的商，r返回余项 x=roots(p)求多项式p的所有复根 p=polyfit(x,y,k)用k 次多项式拟合向量数据(x,y) ，返回多项式的降幂系数 [例子] 计算p(x)= x3+21x2+20x多项式的值。 p1=[1 21 20 0]; polyval(p1,2) %计算x=2时多项式的值 x=0:0.5:3; polyval(p1,x) %计算x为向量时多项式的值 计算 (x3+2x2-5) ÷(x2-x+2),并验算 p1=[1 2 0 -5] p2=[1 -1 2] [p,r]=deconv(p1,p2) conv(p,p2)+r M文件eg4_2.m clear; x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3]; y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]; p=polyfit(x,y,2) % 得到二次拟合多项式1.7432x2-1.6959x+1.0850。 xi=-0.2:0.01:0.3; yi=polyval(p,xi); plot(x,y,o,xi,yi); % 拟合效果 4.2.2 非线性函数的MATLAB表达 4.2.3 函数零点MATLAB指令 （2）使用Inline函数 fun=inline([4*x(1)-x(2)+ exp(x(1)) /10 - 1, -x(1) + 4*x(2)+x(1)^2/8],x); [x,f,h]=fsolve(fun,[0 0]) （3）使用匿名函数 fun=@(x) [4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)^2/8] [x,f,h]=fsolve(fun,[0,0]) 注释1：fzero只能求零点附近变号的根。 fplot((x-1)^2,[-2,4]) fun=inline((x-1)^2,x) x=fzero(fun,1.1) %找不到解 [x,f,h]=fsolve(fun,1.1) %找到解 注释2： fzero 和 fsolve只能求实根。 fun=inline(x^2+x+1,x) x=fzero(fun,0) %找不到根 [x,f,h]=fsolve(fun,1) %找不到解 4.2.4 函数极值MATLAB指令 【例子】 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-1.6,-1.0)内的极小值点。 解： fplot(x.*sin(x.^2-x-1),[-2,-0.1]) x=-1.6:0.01:-1 y=x.*sin(x.^2-x-1) [m,k]=min(y) % 最小值及其序号 x(k) % 最小值点 求精度高的解 fun=inline(x*sin(x^2-x-1),x) [x,f]=fminbnd(fun,-1.6,-1) x = -1.2455 f = -1.2138 [x,f]=fminsearch(fun,-1.6,-1) x = -1.2455 f = -1.2138 4.2.5 最小二乘拟合MATLAB指令 假设已知经验公式 y=f(c,x)(c为未知参数, x为自变量), 要求根据一批有误差的数据(xi,yi), i=0,1,…,n, 确定参数c.这样的问题称为曲线拟合（或数据拟合）。 其基本原理是最小二乘法。求c,使得均方误差最小化 当f关于c是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解，且其解存在唯一。 如果f关于c是非线性函数，问题转化为函数极值问题。 用lsqnonlin解例4.2 先写M函数fitf.m func