九微分及其应用资料.pptVIP

* 第四节、微分及其应用 一、微分的概念 例 设有边长为 的正方形铁片，加热后每个边长增加了 ，问铁片的面积增加了多少？ 解 铁片面积 一般地，如果函数 在点 处可导， 即 我们把 的主要部分 叫做 的微分 是不依赖 的常数 第二项是比 还高阶的无穷小量 定义 设函数 在某邻域内有定义， 及 是这区间上的点，如果函数的改 变量 可表示为 ，其中 是不依 赖 的常数， 是比 更高阶的无穷小量，则 称 在 处可微，而 称函数 在 处的微分。 记作 若函数在 可微，则在 处的函数的改变量 定理 函数 在点 处可微的充要条 件是它在该点可导。 证明 必要性即若 在 处可微必可导 根据定义知 所以 在 处可导 证明 充分性即若 在 处可导必可微 是不依赖于 的常数 比 还高阶无穷小量， 其中 所以 在 处可微 并且 如果 在某区间上可微，函数 的微分 的微分 解 例 求 的微分 例 求 解 所以有 在 点的微分 的微分 解 例1 求 的微分 解 例 2 求 解 例 3 求 当 时的微分 根据微分的定义 可推导出微分公式如下： 的微分 例1 求 的微分 例2 求 的微分 例3 求 的微分 例4 求 练习 的微分 解 例1 求 的微分 解 例2 求 的微分 解 例3 求 答案 的微分 解 例4 求 二、微分的几何意义 函数 在 的微分 微分的几何意义 ： 函数 在 的微分就是 函数 在 点的切线的改变量。 三、微分的应用 或写成 例1 求 的近似值 解 取 例2 求 的近似值 解 取 *