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第二章 一元线性回归分析
思考与练习参考答案
2.1 一元线性回归有哪些基本假定?
答: 假设1、解释变量X是确定性变量,Y是随机变量;
假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性:
E(εi)=0 i=1,2, …,n
Var (εi)=(2 i=1,2, …,n
Cov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n
假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关:
Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n
假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布
εi~N(0, (2 ) i=1,2, …,n
Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n
误差εi(i=1,2, …,n)仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计
解:
得:
2.3 证明(2.27式),(ei =0 ,(eiXi=0 。
证明:
其中:
即: (ei =0 ,(eiXi=0
2.4回归方程E(Y)=β0+β1X的参数β0,β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答:由于εi~N(0, (2 ) i=1,2, …,n
所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N(β0+β1Xi , (2 )
最大似然函数:
使得Ln(L)最大的,就是β0,β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln(L)最大就是使得下式最小,
上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是:最大似然估计是在εi~N(0, (2 )的假设下求得,最小二乘估计则不要求分布假设。
所以在εi~N(0, (2 ) 的条件下, 参数β0,β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。
2.5 证明是β0的无偏估计。
证明:
2.6 证明
证明:
2.7 证明平方和分解公式:SST=SSE+SSR
证明:
2.8 验证三种检验的关系,即验证:
(1);(2)
证明:(1)
(2)
2.9 验证(2.63)式:
证明:
其中:
2.10 用第9题证明是(2的无偏估计量
证明:
2.11 验证决定系数与F值之间的关系式
证明:
2.14 为了调查某广告对销售收入的影响,某商店记录了5个月的销售收入y(万元)和广告费用x(万元),数据见表2.6,要求用手工计算:
表2.6
月份 1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 Y 10 10 20 20 40 画散点图(略)
X与Y是否大致呈线性关系?
答:从散点图看,X与Y大致呈线性关系。
用最小二乘法估计求出回归方程。
计算表
X Y 1 10 4 100 20 6 (-14)2 (-4)2 2 10 1 100 10 13 (-7)2 (3)2 3 20 0 0 0 20 0 0 4 20 1 0 0 27 72 72 5 40 4 400 40 34 142 (-6)2 和15 100 和Lxx=10 Lyy=600 和Lxy=70 和100 SSR=490 SSE=110 均3 均20 均20
回归方程为:
求回归标准误差
先求SSR(Qe)见计算表。
所以
给出 的置信度为95%的区间估计;
由于(1-()的置信度下, 的置信区间是
查表可得
所以 的95%的区间估计为:(7—3.182*1.915,7+3.182*1.915),即(0.906,13.094)。
所以 的95%的区间估计为:(-1-3.182*6.351,-1+3.182*6.351),
即(-21.211, 19.211)。的置信区间包含0,表示不显著。
计算x和y的决定系数
说明回归方程的拟合优度高。
对回归方程作方差分析
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 SSR 490 1 490 13.364 SSE 110 3 36.667 SST 600 4 F值=13.364F0.05(1,3)=10.13(当n=1,n=8时,α=0.05查表得对应的值为10.13),所以拒绝原假设,说明回归方程显著。
(8)做回归系数β1的显著性检验H0: β1=0
t值=3.656t0.05/2(3)=3.182,所以拒绝原假设,说明x对Y有显著的影响。
做相关系数R的显著性检验
R值=0.904R0.05(3)=0.878,所以接受原假设,说明x和Y有显著的线性关系。
对回归方程作残差图并作相应的分析
残差图(略) .从残差图上看出,残差是围绕e=0在一个固定的带子里随机波动,基本满足模型的假设ei~N(0, (2 ), 但由于样本
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