4.2简单迭代法.pptVIP

f (x) = 0 等价变换 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = (x0), x2 = (x1), …, xk+1 = (xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 连续，则由 可知 x* = (x* )，即x* 是 的不动点，也就是 f 的根。 基本原理 §2 简单迭代法 迭代函数 迭代格式 迭代序列 将原方程化为等价方程 迭代法—算例分析 例如: 用迭代法求解方程 解1: 取初值 显然迭代法发散 迭代格式 仍取初值 x3 = 0.9940， x4 = 0.9990 x5 = 0.9998，x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 依此类推,得 已经收敛,故原方程的解为 同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果 什么形式的迭代法 能够收敛呢? 与迭代函数的构造有关 (2) 如果将原方程化为等价方程 迭代格式 考虑方程 x = φ(x), φ(x)在[a,b]上存在，若 ( I ) 当 x?[a, b] 时， φ(x)?[a, b]； ( II ) ? 0 L 1 使得 对 ? x?[a, b] 成立。 则① 方程x=φ(x)在[a,b]上有唯一根x*; ② 任取 x0?[a, b]，由 xk+1 = φ(xk) 得到的序列 收敛于x*。并且有误差估计式： ( k = 1, 2, … ) ③ （整体收敛性定理） 可用 来控制迭代过程 ④ 且 连续时 由此可计算迭代次数 证明：① 方程x=φ(x)在[a,b]上有根x*？ 令 有根 根唯一？ 反证：若不然，设还有 ，则 在 和 之间。 而 ? ? ② 当k ? ? 时， xk 收敛到 x* ？ ? 代入结论③中即得所要证的结论. ③ ④ ？ ③ ④ ？ L 越小 收敛越快 连续时 例题 例 证明函数 在区间[1，2]上满足迭代收敛条件。 证明： 设方程x=?(x)在区间[a, b]内有根x* ， ?x?(a, b) ，有??(x)? ? 1 ，则对任意初值x0 ?[a, b] ，且x0 ? x* ，迭代公式xk+1=?(xk)发散. 例　能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式. 解:方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)0，f(2)0， 故方程f(x)=0在区间(1, 2)内有根.题中? (x)=4-2x，当 x?(1,2)时,??′(x)?=?-2xln2?2ln21 ，由定理4.4不能用 来迭代求根. 把原方程改写为x=ln(4-x)/ln2，此时 ? (x)=ln(4-x)/ln2 ，且 则有 1° 当x?[1,2]时， ? (x)?[1,ln3/ln2] ?[1,2] 2° ?x?[1,2] ，有 ?? (x)?= 由定理知可用迭代公式xk+1=ln(4-xk)/ln2来求解(1,2)区间内的根. 迭代法的局部收敛性 如果存在x*的某个邻域R={x | ?x-x*??? }，迭代格式xk+1=?(xk)对任意初值x0?R均收敛，则称迭代格式xk+1=?(xk)是局部收敛的. 定理 设?(x)在方程x= ?(x)的根x*邻近有一阶连续的导数. 若? ? (x*)? 1, 则迭代过程xk+1= ?(xk)具有局部收敛性 若? ? (x*)? ≥1,则迭代过程xk+1= ?(xk)发散. 注: 若x*在x0附近,则可用|φ(x0)|1代替|φ(x*)|1, 用 |φ(x0)| ≥ 1代替|φ(x*)| ≥ 1. （补充） 例　设F(x)=x+c(x2-3)，应如何选取c才能使迭代公式xk+1=F(xk) 具有局部收敛性？ 解: 方程x=F(x)的根为 ，函数F(x)在根附近具有连续一阶导数，又 F (x)=1+2cx, ，解 得 解 得 从而要使迭代xk+1=F(xk) 具有局部收敛性， 则