§13..2一致收敛性质.pptVIP

皖西学院 数理系 数学分析 一、一致收敛函数列的性质 二、一致收敛函数项级数的性质 定理13.8 即 证 因为 一、一致收敛函数列的性质 1.极限交换定理 特别 证毕。 定理指出: 在一致收敛的条件下, 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序. 上一致收敛, 且 存在, 则有 特别，如果 即f(x)在x0也连续。即有： 定理13.9 若 2.连续性 定理13.9的逆否命题： 若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则 I 如 在x=1不连续， I 所以 定理13.9 若 推论 定理13.10 若 证 即极限号与积分号可交换。 由连续性，f(x)在[a,b]上也连续， 故 fn , f 均可积。 由 3.可积性 证毕。 注：定理中的连续条件改为可积，结论仍然成立. 注：定理13.9、13.10的条件只是充分的： 即定理13.9、13.10的条件不满足，但结论也可能成立。 (其图象如图13－6所示). 显然 是 上的 连续函数列, 且对任意 , 例1 设函数 , 因此, 上一致 收敛于 0 的充要条件是 . 当且仅当 但定理10的结论成立。 不收敛于 定理10的结论不成立。 说明定理10的条件是充分但不必要的。 当且仅当 定理13.11（可微性） 设 {fn(x)} 为定义在[a,b]上的函数列，若 即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出 ) ). ( lim ) ( lim ] , [ } { ] , [ } { } { ] , [ 0 x f dx d x f dx d b a f b a f f b a x n n n n n n n ￥ ? ￥ ? = ￠ ? 一致收敛，则 上 在 上有连续的导数，且 在 的每一项 的收敛点， 为 ( 4. 可微性 证 A ( ) ). ( lim ) ( lim x f dx d x f dx d n n n n ￥ ? ￥ ? = 即 在本定理条件下，推出 。 证： 由 即 证毕。 定理11的条件只是充分的： 例2 即定理11的条件不满足，但结论也可能成立。 定理13. 12 (连续性） 二、一致收敛函数项级数的性质 例3 (1) 证明： (2) 解： 所以 从而， 例4.（内闭一致收敛） 证明： 定理13.13 (逐项求积） 基本要求: 一致收敛+可积 可逐项积分 定理13.13的连续条件改为可积，结论仍然成立. 注： 例5 解: * *