《点集拓扑学》第一章2.pptVIP

§1.5 映 射 重点：熟悉由映射所诱导的逆关系得所有性质 难点：对映射的逆关系性质的理解 定义1 设f是从集合X到集合Y的一个关系, 如果对每一个 存在确定的 使得 , 则称关系 f 是从集合X到集合 Y的一个映射， 并且记作 唯一元素 ， 定义2 设X和Y是两个集合, ， 使得xfy的 则对每个 称为x的象或值，记作f(x)，即y=f(x); x是y的一个原像. 对于 ,如果存在 使得xfy(即y是x的象),则称 给定 ，则 都是有意义的. (1) |存在 ,使得 并称f(A)为A在映射f下的象. 并称 为B在映射f下的原象. (2) (4) f(X)叫映射f的值域. (3) (Y)=X，即映射f的定义域是X. ，则 是从集合X到集合Z的映射， (6) f -1作为Y到X的关系有定义，但一般说来 f -1 不是 一个从Y到X的映射. ，则关系f和g的 (5)如果Z是一个集合并且 复合 作为从X到Z的关系有定义. 定理1 设X、Y、Z 都是集合，如果 ， 并且对于任何 ，有 . 如果 是两个集合, 定理2 设 和 ，则 (2) (3) 简单地说，设 ，则 保持交，并，差运算. (1) 如果对于X中任意互异 的两点x1,x2一定有 . 如果 f(X)=Y， 定义3 设 如果f既是单射又是满射,则称f是一个一一映射. 的映射. 当 时，称 f 是一个取常值 如果f(X)是一个单元素集，则称f是一个常值映射. 则称f是一个满射, ，则称f是一个单射; 或者称f为从X到Y上的映射； 如果f是个一一映射，则其逆关系便是从Y到X的映射 根据上面的定理3,一一映射又称为可逆映射. 因此可以写成 ，并且也是一一映射，此外 定理3 设X和Y是两个集合，又设 ， . 定理4 设 都是集合, ， . 是满射; 如果 和 都是满射，则 如果 都是单射，则 也是单射. 和 如果 都是一一映射，则 也是一一映射. 和 定义4 设X和Y是两个集合, . 映射 和 如果满足条件 ，则称g是f的限制， 或称f是g的扩张,记作 .特别地，恒同映射 在子集A上的限制 称为内射. 定义5 设 两个给定集合，从笛卡尔积 到它的第i个坐标集 的投射(或称第i个投射) 定义为对于每一个 定义1.3.6 设～是集合X中的一个等价关系.从集合X到 它的商集 的自然投射定义为对于每一个 这个自然投射用关系定义便是： §1.6 集族及其运算 重点:集族的交与并的理解 难点：集族交与并的理解 §1.7 可数集，不可数集 重点:可数集合的定义和性质 难点:不可数集合的存在性 .定义1 设X是一个集合,如果X是空集或者存在正整数使得集合X和集合{1,2,…,n}之间有一个一一映射,则称集合X是一个有限集. 定义2 不是有限集的集合称为无限集;如果存在一个从集合X到正整数集Z+的双射,则称集合X是一个可数无限集,不是可数无限集的无限集合称为不可数集.有限集和可数无限集统称为可数集. 阅读材料（二）序关系 y 习题