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复习课: 立体几何中的向量方法（2） 教学目标 重点：线与线，线与面,面与面之间的平行、垂直、夹角及距离. 难点：直线的方向向量和平面的法向量. 2.教具：多媒体. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．用向量方法证明平行，可转化为证明两条直线平行即证明两条直线的方向向量共线，方法有三种： (1)在平面内找一个与直线的方向向量共线的向量； (2)将直线的方向向量用平面中的两个不共线向量线性表示； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 2．利用向量证明垂直可转化为证明两条直线垂直，方法有三种： (1)证明这条直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直； (2)证明直线的方向向量与平面的法向量共线． (3)证明面面垂直可以转化为证明线面垂直，也可转化为 证明两个平面的法向量垂直． 3．空间角： （1）利用向量求线线角的关键是转化为直线的方向向量之间的角. （2）利用向量求线面角的关键转是化为直线的方向向量与平面的法向量之间的角. （3）利用向量求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量法 计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角平面角的关系去求.. （空间角的求法是高考的重点，每年必考，因此应熟练掌握空间角的求法．） 4．空间距离包括点面距、线面距、面面距．重点是点面距，线面距、面面距都可转化为点面距．求法有： (1)直接作出表示点面距离的垂线段求解； (2)等体积变换； (3)利用平面的法向量求解． 三、【范例导航】 例1如图,在四棱锥中 平面,,是的中点. (Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.四棱锥就是点的竖坐标. 【解答】以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为: (Ⅰ)易知因为所以而是平面内的两条相交直线,所以 (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,分别是,的法向量,而与所成的角和与所成的角相等,所以 由(Ⅰ)知,由故 解得.又梯形的面积为,所以四棱锥的体积为. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高, 建立空间直角坐标系,求得几体高由算得体积如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,是上的一点,.(1)证明:平面;(2)设二面角为,求与平面所成角的大小.本题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解.设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则, 设,. (Ⅰ)证明:由得, 所以, ,所以, 所以 ,所以平面;(Ⅱ) 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得.所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为.题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的题相似,底面也是特殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.如图,在长方体中为中点.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则 ,故(2)假设在棱上存在一点,使得平面,则设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要,又平面,存在点使平面,此时.本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想.在长方体中为中点.若二面角的大小为,求的长连接,由长方体,得,,由(1)知,故平面.是平面的法向量,而,平面的法向量为则 二面角是,所以, 四、【解法小结】 1. 用空间坐标向量解立体几何问题一般有下列四个步骤： (1)根据几何图形特征建立适当坐标系； (2)写出定点坐标，设出动点坐标，求出相关向量坐标； (3) 进行相关向量的坐标运算，得到相应结果；(4)将向量结果转化为几何中的结论. 2. 利用法向量求直线与平面所成的角的步骤为 （1）建立空间直角坐标系 （2）求直线的方向向量 （3）求平面的法向量 （4）计算：设线面角为，则 3. 利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围； (4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来． 4.利用平面的法向量求点到平面的距离的步骤： （1）求出该平面的一个法向量为： （2）是平面外一点，找出从点出发到平面的一条斜