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2007级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案 求下列极限（每小题5分，共20分） 1． 其中， 二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．，求 解： 2．设函数由方程确定，求 解：方程两边同时关于求导，得： ------（1） 又当时，代入原隐函数方程易得，将代入（1）: 3．设求 解：两边取对数，得：。 上式两边同时关于求导，得： 故 把代入上式得: 4．设其中具有二阶导数，且求 解：（一） （二） 三．求下列积分（每小题6分，共30分） 3. 4． 四．求解下列各题（每小题10分，共20分） 1。设，讨论 在出的连续性与可导性。 解： （一）连续性 因为所以在处连续。 （二）可导性 因为，所以，在处可导。 2．试求幂级数的收敛区间（包括端点处的敛散性），并求它的和函数。 解： （一）记 因为 所以收敛半径为又 当时，级数即为条件收敛； 当时，级数即为发散，故级数的收敛区间是 （二）设 ， （1） 则 （2） 其中 （3） 由于 所以， ， 故 注意：也可以这样求直接利用展式，得 五．应用与证明题 （每小题10分，共20分） 1。设抛物线通过原点，且当时，。如果它与轴，直线所围成图形的面积为，试确定，使这个图形绕轴旋转所生成的立体体积最小。 解：（一）因为抛物线通过原点，故 （1） 又， 所以 （2） （二）设 令 得故 因此，当时，可使图形绕轴旋转所生成的立体体积最小。 注意：还须验证当时，抛物线满足条件当时，。 2。证明：当时， 证明：令 则 故当时，在上单增， 故当时， 因此在上单增，故当时，即 当时， 2007级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案 高等数学 老师：周世国 1 2011-3-17 第1页 共5页