相似理论与模型试验程序.pptVIP

相 似 理 论 与 模 型 实 验 授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月 下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。 这种约束关系还可以采取另外的形式，这时如将式（3-3）中的cv、ct、 cl值代回式（3-8），便得 或 不变量 （3-9） 同理，在研究式（3-2）时，可得 （3-10） 或 （3-11） 上两式的综合数群 和 ，都是不变量，它们反映出物理相似的数量特征，被称之为相似准则。 应该注意：相似准则的概念 是“不变量”，而非“常量”。所说不变量，是因为相似准则这一综合数群只有在相似现象的对应点和对应时刻上才相等。若举式（3-9）为例，亦即 （3-12） 如果由微分方程说明的现象，取同一现象的不同点，则因其物理变化过程的不稳定性，有： （3-13） 所以，相似准则只能说成是不变量，不能说成是常量，而相似第一定理也就因此表述为：对于相似的现象，其相似准则的数值相同。 同时还要注意，相似准则从概念上说是与相似常数不同的。二者虽然都是无量纲量，但存在着意义上的区别。 相似常数是指在一对相似现象的所有对应点和对应时刻上，有关参量均保持其比值不变。而一当次对相似现象为另一对相似现象所替代，则尽管参量相同，这一比值确实不同了。 例如，以最简单的平面三角形为例，它的三边具有同样的长度量纲。现在设想存在三个相似的平面三角形A、B、C(图3-1),它们构成三队相似现象A-B、B-C、和A-C。设各三角形的底长各为4、3、2厘米，则第一对相似现象的相似常数为4/3，第二队为3/2，第三对为2，即 图3-1 与相似常数不同，相似准则是指一个现象中的某一量，它在该现象的不同点上具有不同的数值，担当这一现象转变到与它相似的另一现象时，则在相对应点和相对应时刻上保持相同的数值。 相似准则与相似常数比较，其重要性在于它是总合地而不是个别地反映单个因素的影响，能更清楚地显示过程的内在联系。 当用相似第一定理指导模型研究时，首先重要的是导出相似准则，然后在模型试验中测量所有与相似准则有关的物理量，借此推断原型的性能。但这种测量与单个物理量泛泛的测量不同。由于它们均处于同一准则之中，故在几何相似得以保证的条件下，可以找到物理量相似常数间的倍数（或比例）关系。模型试验中的测量，就在于以有限试验点的测量结果为依据，充分利用这种倍数（或比例）关系，而不着眼于测取各物理量的大量具体数值。 当微分方程较简单时，找出相似准则并不困难。 但当方程无从知晓时，或是很复杂时，应采用其它的方法。 当现象的相似准则数超过一个时，问题便进入了相似第二定理的范畴 3.2 相似第二定理（π定理） 相似第二定理可表述为： 设一个物理现象如果含有n个物理量,其中有k个为物理量是相互独立的，那么这n个物理量可表示成是相似准则π1、π2、…πn-k 之间的函数关系。按此定理，亦即 f(π1、π2、…πn-k)=0 (3-14) 以后把式（3-14）称作准则关系式或π关系式，把式中的相似准则称作π项。 对于彼此相似的现象，在对应点和对应时刻上相似准则都保持同一值，所以它的π关系式也应当是相同的。一般用下标“p” 和“ m”分别表示原型和模型，则π关系式分别为： f1(π1、π2、…πn-k)p=0 f2(π1、π2、…πn-k)m=0 (3-15) 其中： π1m=π1p π2m=π2p (3-16) ﹕ π(n-k)m=π(n-k)p 式（3-16）的意义在于说明，如果把某现象的实验结果整理成（3-14）所示的无量纲的π关系式，则该关系式便可推广到与它相似的所有其它现象上去。 而在推广的过程中，由式（3-16）可知，并不需要列出各π项间真正的关系方程（不论该方程发现与否）。 π定理是可以证明的。严格说，式（3-14）所示的π关系式可完整的表述为 （3-17） 而当有j个物理量 为无量纲参量