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结构动力学的本质 （研究结构动力学的最终目的是要控制振动，防止因振动而造成的损害，而利用其有利的特性） 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。 离散的方法主要包含：集质量法把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。瑞利－里兹法（即广义位移法）：。有限元法给出了随时间变化的位移，在每一瞬时，每个有限单元内部的应力状态可以利用插值函数、应变-位移关系和材料的本构特性由结点位移求出 步骤方法对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。 前面描述的运动方程是关于多自由度离散体系的，对于实际结构而言，本质上都是具有分布质量的弹性体即分布参数体系也称为无限自由度体系，要严格描述无限自由度体系的振动，需要建立关于空间位置坐标和时间两个独立变量的连续函数，因此描述无限自由度体系的运动方程为偏微分方程。 偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，因此我们一般都不能直接求解问题。 偏微分方程来历 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程（微分学的中心问题），分析结构在荷载、温差等外因影响下所产生的应力、变形和位移状态的基本原理之一。能量是指结构作功的能力。弹性结构在加载时产生变形，在卸载后又能恢复原状，说明若不计动能和热能的变化，荷载在结构上所作之功，将全部转化成结构的变形势能存储于结构之内，因而在卸载过程中具有恢复原状的能力，这是能量原理的依据。能量原理根据荷载作功过程中变形势能的变化规律,建立起一系列极值条件，作为解题的综合判据,从而避免直接解算大量偏微分方程，以简化解题手续用能量法分析结构,主要是寻求既满足边界条件,又同时满足势能为最小的位移函数或者余能为最小的应力函数。对许多难于求得精确解的工程问题，可用下述各个能量原理以求问题的近似解答。因此，在分析复杂结构的静力和动力问题中，能量原理得到广泛应用