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矩阵对角化的判定和方法 刘晓珍 数学科学学院 数学与应用数学 学号：080414073 指导老师：周慧倩讲师 摘要: 矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化的矩阵有利于矩阵问题的解决.本文首先对矩阵是否可对角化的判定方法进行了讨论，然后对可对角化的矩阵，介绍了三种将矩阵对角化的方法，并以例题加以说明. 关键词：可对角化；特征值；特征向量；对角化方法；矩阵初等变换 1 引言 形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，研究矩阵对角化问题是很有理论价值的.主要体现在线性变换对不同基下矩阵的相似关系和二次型在化简过程中矩阵之间的合同关系. 利用这些关系可以很快求出矩阵的方幂、方阵的行列式和逆、幂等矩阵的秩与迹的关系等问题.另外，矩阵对角化对于我们在几何上研究二次曲面也有一定的帮助.然而，在一些特殊情况下，它才与对角阵相似.基于此，本文介绍矩阵对角化的判定，以及将矩阵对角化的三种方法：对特征多项式的转置做初等变换，将矩阵对角化；对矩阵自身做初等变换，将矩阵对角化；利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化，然后介绍了几种特殊矩阵对角化的方法作为补充. 2 基本知识 2.1有关定义 定义1 如果数域上，对级矩阵存在一个可逆矩阵使为对角形矩阵，则称矩阵在数域可对角化；当可对角化时，我们说将对角化，即指求可逆矩阵使为对角形矩阵. 定义2 对任何矩阵至少存在一个非零的多项式使，我们把凡具有这种性质的多项式，叫做的零化多项式，显然的零化多项式不止一个，如的任一倍式，都是的零化多项式. 定义3 在阶矩阵的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式，叫的最小多项式，记作： 定义4 如果阶方阵满足，则称为对合矩阵． 定义5 如果阶方阵满足，则称为幂等矩阵． 2.2 矩阵对角化的判定 定理1[] 阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量. 推论1 阶方阵有个不同特征值，那么可对角化. 定理2 设阶方阵的全部特征值为，那么可对角化，我们这里称叫做特征子空间的几何维数. 定理3 阶方阵与对角阵相似的每一个特征值的代数重数等于它的几何重数. 定理4 阶方阵与对角阵相似的初等因子都是一次的. 定理5 阶方阵的特征多项式无重根相似于对角矩阵. 定理6[] 阶复数矩阵可对角化的最小多项式无重根. 通常情况下，对于一个阶矩阵能否对角化一般是考虑它是否有个线性无关的特征向量，往往比较复杂。这里利用最小多项式给出一个矩阵可对角化的一个充要条件，达到更加简洁、实用的目的阶矩阵是其特征多项式的根，即有：. 由哈密顿·凯莱定理知，对任何矩阵至少存在一个非零的多项式使，我们把凡具有这种性质的多项式，叫做的零化多项式，显然的零化多项式不止一个，如的任一倍式，都是的零化多项式. 在阶矩阵的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式，叫的最小多项式，记作：,不难证明，的最小多项式是唯一的. 下面是零化多项式与最小多项式的关系： 引理2 是阶矩阵的零化多项式，是的最小多项式，则，特别的. 引理3 设是一个阶矩阵，是中所有元素的最大公因式，则有. 证明： 必要性：设，所以存在可逆矩阵使，从而，不妨令是的互不相同的特征根，记 因有 而 所以，于是，但没有重根，因而没有重根. 充分性：设为的互不相同的根，则由没有重根，应有 于是 令，则，所以共有个线性无关的特征向量，并且显然，另一方面 因而又有 故，这就证明了有个线性无关的特征向量. 定理7[] 设是在数域上的全部互不相同的特征值.作多项式,则在上可以对角化的充要条件是. 证明： 必要性：若可以对角化，则必存在可逆矩阵，使，其中为阶单位矩阵，且， 于是 充分性：若，可证为的最小多项式.显然，所以只要证即可.用反证法，设，任取的属于的特征向量，有，因而对，有 于是，即.因为，必有，矛盾.从而，因此，即为数域上互素的一次因式之积，故可以对角化. 定理8 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的初等因子全为一次的. 定理9 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的不变因子没有重根. 定理10 数域上阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积. 引理4[] 设，分别是、矩阵，如果，则. 证明：设矩阵的列向量组为，则 由于，所以，，因此都是齐次线性方程组的解向量．设方程组的解空间为，则 . 3 矩阵对角化的三种方法 利用矩阵的特征值和特征向量可以将矩阵对角化，由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械，一般教材都有详细介绍，这里不做总结. 3.1 对特征多项式的转置做初等变换，将矩阵对角化. 定理 如果经过初等变换化为，其中表示特征矩阵的转置，为对角阵，则 （1）的特征值为对角线上元素乘积所得的关于多项式的根； （2）对于的每一个特征值，其