第二节 中心极限定理(概率论与数理统计)课件.ppt

* 5.2 中心极限定理 定理5: (独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差，E(Xk)=?, D(Xk)=? 2?0( k=1,2,…).则随机变量 的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X ， 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从 或近似服从正态分布. (即这些因素的叠加)的结果. 对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明. 0 3 — 钉子层数 例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数 相互独立， 设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则 由独立同分布中心极限定理, 有 (1) (2) 例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 ? X ? 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100 (几何分布) 相互独立, 由独立同分布中心极限定理, 有 例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,…,1900 Xk P 10 20 0.5 0.5 相互独立同分布, (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量 服从参数为 n , p(0p1) 的二项分布，则对于任意 x,有 定理6: 例4 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？ 解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力， X 为开工的车床数 , 则 X ~ B(200,0.6) , X ~ N (120, 48) (近似) 由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有 问题转化为求 a , 使 反查标准正态函数分布表，得 令 解得 (千瓦) 例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , X ~ B( 6000 , 1/6 ) 近似 由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 则 有 比较几个近似计算的结果 中心极限定理 二项分布(精确结果) Poisson 分布 Chebyshev 不等式 例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 中心极限定理估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75) 要使 ，求 n 问题 由德莫佛-拉普拉斯定理 由此可得 查表可得 由此解得 (李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,它们具有数学期望和方差: 定理7: 例6 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中： 保险公司亏本的概率是多少？? ?保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？ 解：设这10000人中一年内死亡的人数为X，则 X~b(10000, 0.006) 每年死亡人数超过120人时公司才会亏本，当每