高中数学 第十一章《圆锥曲线》数学竞赛讲义 苏教版.docVIP

第十一章 圆锥曲线 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即 (0e1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为 (ab0)， 参数方程为（为参数）。 若焦点在y轴上，列标准方程为 (ab0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 ， a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0e1. 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。 4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆1(ab0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为 ； 2）斜率为k的切线方程为； 3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|, a0)的点P的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为 ， 参数方程为（为参数）。 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 。 8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 (a, b0), a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。 9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是。 10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1. 11．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=； 2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。 12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0e1，则点P的轨迹为椭圆；若e1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。 二、方法与例题 1．与定义有关的问题。 例1 已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。 例2 已知P，为双曲线C：右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠F1K=∠KF1Q. 2．求轨迹问题。 例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。 例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。 例5 在坐标平面内，∠AOB=，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。 3．定值问题。 例6 过双曲线(