事物的平衡性.docVIP

14题目：讨论资金积累、国民收入与人口增张的关系。 若国民平均收入X与按人口平均积累资金Y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民收入才是增长的。 作出和的示意图，说明二曲线是平衡点，讨论它的稳定性。 分析人口激增会引起什么后果。 模型分析： 若资金积累增长率和人口增长率由国民平均确定，一般情况下，和都是升函数，二曲线交点M的横坐标是平衡点，因为x=时，k=r,=0 该平衡点的稳定性取决于平衡点附近和的增长速度，若，则平衡点不稳定，即国民平均收入将不断增长，反之，则稳定，即国民收入将停滞。 （3） 在不稳定平衡点的情况下，国民平均收入不断增长，假定人口增长率突然增加，造成在M点再次与相交，则是稳定平衡点。； 第11题：一个岛屿上栖居食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生长。在适当的假设下建立三者之间的关系模型，求平衡点。 假设 ⑴哺乳动物和食肉爬行动物用X1(t)和X2(T)分别表示时间两者的数量。 ⑵若岛屿上没有食肉爬行动物，哺乳动物的净相增长率为一正常数k1（岛屿上的植物绝对可以供应哺乳动物），若没有哺乳动物，食肉爬行动物的净相增长率为一负数，记为-k2(k20). ⑶根据统计规律，两类动物相遇的机会正比于x1和x2乘积。 建模 考虑了每一种群的数量增长与本种群的数量有关，同时还受到另一种群的影响建立模型如下： X1=k1x1-bx1x2=x(k1-bx2) X2=-k2x2+cx1x2=x2(-k2+cx1) 并设 k1=1 k2=0.5 b=0.1 c=0.02 x1(0)=25 x2=2 MATLAB: function y=(t,x) k(1),k(2)=0.5 ,b=0.1 c=0.02 y=diff[(k(1)-b*x(1))*x(1),(-k(2)+c*x(1))*x(2)] ts=0:0.1:10;x0=[20,4] [t,x]=ode45(v,ts,x0); f1=figue;plot(grid); gtext(x1(t)) ,gtext(x2(t)); title(平衡关系)；Gause; f2=figre; plot(x(:,1),x(:,2));grid; slabel(x1),ylabel(x2); title(相位图) 12题目：物种迁移问题 问题： 大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量地增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当的假设下建立物种数的模型，并讨论稳定状况。 二、模型假设： 1)假定大陆上物种的数目为常数; 2)岛上物种数的增加率与尚未迁移的物种数成正比，比例系数为(0); 3)岛上物种数的减少与已迁移的物种数成正比，比例系数为(0); 三、模型建立： 记岛上物种数为，大陆上物种数为,则由假设知数学模型为： 四、模型求解： 此模型是求解为何值时，物种可以达到稳定的状态。由微分方程稳定性理论知：先令=0，得到平衡点，再检验在点的导数值是否小于0，若是，则平衡点为稳定点。此模型的= .用Mathematica求解如下： Solve[a*(N-x)-b*x?0,x] D[a*(N-x)-b*x,x] 所得结果为: -a-b 由上面的求解可以看到，x0=平衡点为，而且f(x)在平衡点的导数值小于0，所以x0为稳定点。 如果食饵——捕食者模型系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小而免遭捕获，在适当的假设下建立这三者之间的关系的模型，并求出平衡点。 模型假设： 设x1(t)为成年食饵的数量;x3(t)为未成年的食饵的数量；x2(t)为捕食者的数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r；未成年的食饵的存活率为r1;捕食者的独自生存的死亡率为r2; 模型建立： 不考虑各个种群的自身的阻滞增长作用则可以建立以下的模型： X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2*x1(t)); Matlab语言程序： function xdot=shier(t,x) r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;a2=0.02; xdot=[(r-a1*x(2)).x(1);(r1*x(1)-r*x(3));(-(r2-a2*x(1)).*x(2))]; ts=0:0.1:15; x0=[25,15,2]; [t,x]=ode45(shier,ts,x0);[t,x], plot(t,x),grid,gtext(x1(t)),gtext(x2(t)), pause, plot