《二零一六年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题》.docVIP

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) (1) 已知当时，与是等价无穷小，则( ) (A) . (B) . (C) . (D) . (2) 已知函数在处可导，且，则=( ) (A) 2. (B) . (C) . (D) . (3) 设是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若收敛，则收敛. (B) 若收敛，则收敛. (C) 若收敛，则收敛. (D) 若收敛，则收敛. (4) 设，，，则的大小关系是( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (5) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则( ) (A) ． 　　 (B) ． 　　 (C) ． (D) ． (6) 设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． (7) 设，为两个分布函数，其相应的概率密度，是连续函数，则必为概率密度的是( ) (A) ． 　　 (B) ． (C) ． 　　(D) ． (8) 设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量 ( ) (A) ，． (B) ，． (C) ，． (D) ，． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．) (9) 设，则 . (10) 设函数，则 . (11) 曲线在点处的切线方程为 . (12) 曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 . (13) 设二次型的秩为1，的各行元素之和为3，则在正交变换下的标准形为 ． (14) 设二维随机变量服从正态分布，则= ． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分) 求极限． (16) (本题满分10分) 已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，，求. (17) (本题满分10分) 求. (18) (本题满分10分) 证明恰有2实根. (19) (本题满分10分) 设函数在有连续导数，，且, ，求的表达式. (20) (本题满分11分) 设向量组，不能由向量组，，线性表示． (I) 求的值； (II) 将由线性表示． (21) (本题满分11分) 为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且． (I) 求的特征值与特征向量； (II) 求矩阵． (22) (本题满分11分) 设随机变量与的概率分布分别为 1 且． (Ｉ)求二维随机变量的概率分布； (II)求的概率分布； (III)求与的相关系数． (23) (本题满分11分) 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的区域． (I)求边缘概率密度； (II)求条件密度函数． 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) (1)【答案】． ． 所以，故答案选(C). (2)【答案】()． 解析 ． 故答案选(B). (3)【答案】(A) 【解析】方法1：数项级数性质：收敛级数任意添加括号仍收敛，故(A)正确. 选项(B)取，这时收敛，发散，故选项(B)错误； 选项(C)取，这时收敛，发散，故选项(C)错误； 选项(D)取，这时收敛，发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A). (4)【答案】(B)． 【解析】因为时， ， 又因是单调递增的函数，所以． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)． 解析由于将的第2列加到第1列得矩阵，故 ， 即，． 由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故 ， 即故．因此，，故选(D) (6)【答案】(C)． 是的3