第十四章数值计算.doc

第十三章 数值计算初步 一、 本章提要 基本概念 算法，模型误差，测量误差，截断误差，舍入误差，绝对误差，相对误差，绝对误差限，相对误差限，有效数字，误差估计，插值节点，被插函数，插值多项式，插值问题，插值基函数，散点图，拟合函数，正规方程组，直线拟合，曲线拟合，数值积分，常微分方程的数值解． 基本公式 多元函数的误差估计公式，牛顿迭代公式． 次拉格朗日插值公式，插值多项式，插值多项式的余项式，牛顿-科茨求积公式，梯形公式，抛物公式，科茨公式，复化梯形公式，复化辛普森公式，变步长梯形法则的递推公式，求解常微分方程初值问题的欧拉公式，改进的欧格式，四阶龙格-库塔公式． 基本方法 方程求根的二分法，牛顿迭代法，拉格朗日插值方法，曲线拟合的最小二乘法，数值积分方法，求常微分方程初值问题的欧拉方法及改进的欧拉方法，四阶龙格-库塔方法． 定理 牛顿迭代法的收敛定理． 二、要点解析 问题1 数值计算时，为什么要对误差作出估计？ 解析 由于数值计算求出的数值解一般都是近似解，为了使近似解满足一定的精度要求，所以要对误差进行估计． 问题2 用插值法能求出表格形式给出的函数的反函数吗？ 解析 科学实验及实际工作中，许多函数是由表格形式给出的函数，如果能够判断所要求的反函数存在，则可以通过先给表格函数中自变量与因变量换位，再进行插值运算的方法得到要求的反函数的插值多项式．如果函数在整个区间中不单调变化，可在其单调区间内进行分段插值，从而得到分段表达的“反函数”． 问题3 怎样保证算法程序的正确性? 解析 要保证所编程序正确（语法错误除外）无逻辑错误，首先要对所用算法理解透彻，其次要有正确的检验方法． 检验算法程序是否有逻辑错误的一个常用手段是：用所编程序对事先知道运算结果的某个具体问题进行求解，若所求结果与事先知道的结果相符，则说明此程序无问题， 否则说明有问题．通常称这种检验方法为用已知检验未知的方法．例如，对于插值程序，要先检验插值节点处的函数值是否正确；再看对某已知解析式的函数（比如直线）是否正确．一般地说，发现所编程序的逻辑错误远比发现语法错误要难，因此在编程计算时，要特别注意逻辑错误的检验，以保证所编程序正确无误． 三、例题与精解 例1 求一个多项式，拟合下列数据 解 描出数据表的散点图，发现这些点近似地在一直线上分布，因此考虑用一线性函数拟合所给数据，设所求拟合函数为 ， 由所给数据表可知： ， ， ， ， 由直线拟合的正规方程组得 解之，得 因此所求的拟合函数为 ． 例2 用牛顿法求方程的近似值（要求绝对误差限≤）时，牛顿迭代格式怎样确定？初值如何选定？误差如何控制？ 解 因为求方程的根，等价于求函数的零点．， 所以牛顿迭代格式为 　， 即　　 ， 为确定初值，需先画出的草图（如图）发现其根有两个，分别在及附近． 因此，在求附近的近似根时，可选初值；在求附近的近似根时，可选初值 ． 由于要求近似根绝对误差限，故在计算过程中应该用所求近似根的前后两个值是否小于 来控制误差． 例3 用欧拉方法求微分方程初值问题 在处的数值解． 解 因为，所以计算该问题的欧拉公式为 ， 取，则 ．应用上式计算如下： ， ， ， 因此，≈，≈，≈097．相异固定节点及对应的函数值所得出的拉格朗日插值多项式是唯一的； （ √ ） 解析 由拉格朗日插值多项式的存在唯一性可知，由个相异固定节点及对应的函数值所得出的拉格朗日插值多项式是唯一的． 求定积分的近似值的梯形公式为 ； （ √ ） 解析 T=为梯形公式的计算式，它是牛顿-科茨求积公式中当时的情况． 求一个微分方程的数值解就是要求出未知函数在若干个点处的函数值；（ √ ） 解析 微分方程初值问题的数值解就是对未知函数给出一系列节点：，，…，处的函数值，，…． （4）用牛顿法求方程的根，不管初值选取如何，总能得到足够精确的结果． （） 解析 初值的选取不当，会导致近似根序列{}不收敛．初值必须满足． 选择题 （1）函数过点的拉格朗日插值多项式为（ D ）； （A）； (B)； (C)； (D) ．=， 其中=1，=2，=2，=3， 从而 ==． (2) 若在闭区间上连续，且在开区间内有10个根，则用方程 求根的二分法能够求出（ B ）； 唯一的一个根 ； （B）全部10个根； （C）全部正根； （D）全部负根．的全部实根． （3）对给定数据点进行曲线拟合之前，先画这些数据点的散点图，其目的是（ A ）； （A）根据散点图的形状推断拟合函数的形式； （B）为保证拟合曲线过这些点； （C）观察散点图中点的个数是否与所给数