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集合與機率 一、集合論 集合(set) 由元素(element) 組成集合 集合相等 子集合(subset) ，稱A為B之子集合(或A包含於(Contained in)B),記為。 真子集(proper subset) 宇集合(universal set) 包含所有可能元素之集合。 聯集(union) 交集(intersection) 互斥(disjoint) A,B兩集合沒有共同元素，記為 補集(complement set) 宇集合中不屬於集合A之所有元素組成之集合。 差集(difference) 笛摩根定律(De Morgan’s law) 計數公式(排容原理) 設A,B,C為有限集合，則 乘法原理(multiplication principle) 假設某項工作之作業由一連串不同之程序所組成，其中第一個程序有第二程序有種選擇,,餘類推，則完成此工作的選擇共有 例：由A→B之方法共有3種方法，由B→C之方法共有2種方法則由A→B→C之方法共有3x2=6種方法。 階乘(factorial) 1! = 1, 0! = 1 排列(permutation) (考慮位置，順序) 從n個相異的物件取r個(不可重複) ，排成一列，共有方法數為 p(n,n)=n! (n個相異物件排成一列之方法數) 重複排列 從n個相異物件選取r個，並允許重複，則某排列總數為 不完全相異物件之排列 n個物件中，第1類有 組合(combination) (不論位置，順序) 從n個相異物件取出r個之方法數為 。 不含某特定物件 含某特定物件 不含某2特定物件 含某2特定物件 二項式定理 巴斯卡三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 利用巴斯卡三角形可得下之展開式。 二項式定理： 例： 展開：從每一括弧內取一個相乘 沒有y 有1個y 有2個y 有3個y 從3個y取0個y 從3個y中取1個y 從3個y中取2個y 從3個y中取3個y 註： 即元素個數為n之集合之所有部分集合之個數。 二、機率論 (一)隨機試驗(random experiment) 符合下述三條件之試驗，稱為隨機試驗。 每次試驗可能出現的結果不止一種，且所有可能出現的結果為已知。 每次試驗只會出現一種結果，未試驗前，無法確知那一種結果會出現。 在相同情況下，試驗可重複進行。當大量重複試驗後，各種結果所發生的次數逐漸趨向一定的比例。 有關隨機試驗之名詞： 出象(outcome) 試驗之結果。 樣本空間(sample space) 所有可能出象之集合，以表示。 事件(event) 樣本空間的部分集合。 事件空間(event space) 所有事件的集合，以表示。 簡單事件(simple event) 只含一個出象之事件。 複合事件(compound event) 含2個以上出象之事件。 (二)機率(probability) 函數(function) 設A,B為兩個非空集合，如果A中的每一元素X，在B中都有唯一的元素y與之對應，則稱這個對應為從A映到B之函數。 f：A→B f：x→y f(x)=y A稱為函數f之定義域 B稱為函數f之對應域 機率函數(probability function) 機率函數是由事件空間映至[0 1]，且滿足下述3個公理(axiom)之函數。 任何事件A發生之機率必大於或等於0，且小於或等於1。 即 樣本空間之事件發生之機率必等於1,即。 設為互斥事件，則發生或…之機率為個別事件之機率相加，即 機率理論 機會均等法則(equally likely approach) (此為古典機率理論) 若樣本空間內任一點出現機率相等，則 n為事件