华中科大08年数学分析详解.docVIP

数学分析试卷03 一、 求极限 解: 一方面显然 另一方面，且 由迫敛性可知。 注：可用如下两种方式证明 令，则 即，从而 由有。 二、证明为某个函数的全微分，并求它的原函数。 证明：记，，则 ， 是某个函数的全微分 设原函数为，则 三、设是空间区域且不包含原点，其边界为封闭光滑曲面：用表示的单位外法向量，和，证明： 证明：设的方向余弦为。因为的方向余弦为，所以 ，由于原点不在空间区域，根据高斯公式，有 注：当原点也在该区域时，结论也成立，详细参考课本P296第8题答案。 四、设为连续函数，证明： 证明：记， 由于为连续函数，故在上连续，从而在上可积。 而对每个，存在，从而累次积分也存在，同理也存在。于是 即 五、设，，证明收敛并求其极限。 证明：一方面由归纳法易知，即有界。 另一方面 于是单调，从而收敛。 设，则解得 六、设反常积分绝对收敛且，证明收敛。 证明：由于，故，当时，，此时 再由绝对收敛知，对，有 取，则 故收敛。 注：这里还差0不是 的瑕点这一条件，若不然讨论 由下题可知绝对收敛，但发散。这是因为 发散；收敛。 七、讨论反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散），其中为常数。 解：记 先讨论（可以用瑕积分收敛判别的推论） 由可知，，当时， ，是定积分，只需考虑 当时，，由收敛知收敛，且绝对收敛； 当时，，由发散知发散。 再讨论 当时，，由收敛知绝对收敛 当时，条件收敛，这是由于对任意，有，而单调趋于0，由狄利克雷判别法知收敛。 另外，其中满足狄利克雷条件，是收敛的。但是发散的。 所以当时，是条件收敛的。 综上所述， 当时，条件收敛； 当时，绝对收敛； 当时，发散。 八、将函数展开为余弦级数。 解：对作偶式周期延拓，则的傅里叶系数为： 即，（） 九、证明函数在上可微 证明：对，收敛 记，则。 与在上均连续 由于对，，因此 即在上收敛 故在上可微且 十、设在上二阶可导，且在上成立，。证明在上成立。 证明：根据泰勒公式，分别将与在处展开： 两式相减得