运用微分学方法证明不等式 毕业论文.doc

运用微分学方法证明不等式 Proofs of inequalities by using of differential calculus 专 业: 数学与应用数学 作 者: 指导老师: 二○一二年五月  摘 要 Abstract We summarize the proofs of the inequalities by using the differential calculus, that is, using the function monotonicity, using the differential mean value theorem, using the Taylor formula, using the concavity and convexity of curve, using the extreme value of the function and so on． Furthermore, we investigate points for attention when we prove inequality by using of differential calculus by some examples． Keywords: inequality; differential calculus; proofs  目 录 摘 要 I ABSTRACT II 0 引言 1 利用函数单调性证明不等式 1 2 利用微分中值定理证明不等式 3 3 利用泰勒公式证明不等式 7 4 利用曲线凹凸性证明不等式 11 5 利用函数最值证明不等式 12 参考文献 0 引言 一个数学问题中, 往往同时存在着若干个量, 研究他们彼此间的关系, 常常归结于不等式问题．作为一种工具, 不等式在数学的各个领域内都起着十分重要的作用, 在应用上也有十分重要的价值, 本文将散见于文献中运用微分学知识证明不等式的方法归纳为：利用函数单调性证明不等式、利用微分中值定理证明不等式、利用泰勒公式证明不等式、利用曲线凹凸性证明不等式和利用函数的最值证明不等式． 为本文行文方便, 文中未特别申明的符号与文献[4]相同． 1利用函数单调性证明不等式 利用函数的单调性证明在区间I上不等式 （或） 成立的步骤一般为 (1) 构造函数, 借助进行证明的过程中如果出现不简便或比较困难的情形, 则可以将原不等式作适当的变形, 改证其等价的不等式, 再构造辅助函数． (2) 考察在由I及其端点(若在该点有定义)构成的区间上的连续性． (3) 求, 讨论在区间I内的符号, 由此确定在上述区间上的单调性(有时需求出、等, 才能确定的单调性)． (4) 求出在区间端点处的函数值(或极限值) , 根据单调性即得证． 例1 证明： (1)当时, ． (2)当时, ． 证明 (1)令, 因为函数在上连续, 在内可导, 且 ． 当时,, 所以当时, 函数是单调递增的． 故当时,有 , 从而 　 ． (2)因为, 所以, ． 令函数, 则有 因为时, ,, 所以． 即在时严格递增的, 又因为, 所以, 即 ． 例 2 证明：当时, ． 证明 设 , 则在上可导, 且 , , 故为上单调增函数, , 于是, 为上的单调增函数, 所以 ． 即 ． 2利用微分中值定理证明不等式 为以下行文方便, 将几个主要的微分中值定理摘录如下： 定理1 （罗尔中值定理） 如果函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 且满足, 那么在内至少存在一点, 使得 ． 定理2（拉格朗日中值定理） 如果函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 那么在内至少存在一点, 使得 ． 当函数在内的变化范围已知时, 有, 于是可以利用拉格朗日定理来证明一类的不等式． 定理3 （柯西中值定理） 如果函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 且在内每一点均不为零, 那么在内至少存在一点, 使得 ． 根据要求不等式的两边的代数式选取合适的函数, 应用微分中值定理得出一个等式之后, 对这个等式根据取值范围的不同进行讨论, 得到不等式． 例3 (1) 如果, 证明： ; (2) 证明: ． 证明 (1)令, 在区间上连续, 在内可导, 应用拉格朗日中值定理, 则有, ． 由于在闭区间上, 有, 所以 ． (2)当时, 显然等号成立． 当时, 不妨设．设 , 由拉格朗日中值定理, 得 , ． 则有 所以 ． 例4 已知, , 证明： ． 证明 设, 根据拉格朗日中值定理