解答运动中“最值”和“存在性”问题的基本途径.doc

解答运动中“最值”和“存在性”问题的基本途径 纵观近年来各地的中考试题压轴题，基本都以“运动型”题目来呈现，这类题目又以考查“最大（小）值”问题和“存在性”问题为主．此类题目具有一定的开放性和探索性，难度较大，需要丰富的空间想象能力和综合运用知识的能力来解答．面对此类题目，很多同学束手无策，通过以下两例解析，希望同学们能理解解答此类题目的基本途径． 一、运动中的“最大（小）值”问题 此类问题常以“面积”为载体来呈现，解答的基本途径是转化为函数的最值问题： 例1．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式； （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 分析：以P、N、C、D为顶点的四边形边形面积是三角形PCD和三角形PNC的面积和，前者的底是3，高是2，后者的高是2，底可用含可用含自变量t的式子表示出来，从而四边形边形PNCD面积可用含有自变量t的式子表示出来，转化为函数最值问题． 解：（1）y=-x2+4x； （2）依题意可知：P（,），N（，） 当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得： = =+= =． ∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且时，=； 当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形， 依题意可得，==3， 综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值． 点评例2.若存在，求出这个t的值；若不存在，请说明理由．若存在，求出这个t的值；若不存在，请说明理由． 分析 解得 ∴所求抛物线的解析式为． （2）将抛物线的解析式配方，得． ∴抛物线的对称轴为x=2． ∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）． 欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．易知≌，即BP=FQ． ∴t=6－3t，即t=． （3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似， ∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或， 即PB=OQ或OB2=PB·QO． ①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．时，． ②若P、Q在y轴的侧．当PB=OQ时，∴t=4．时，． ∵t=0．故舍去，∴t=． ∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似． 点评：①解答“运动型”存在性问题的关键是分析满足特殊“三角形或四边形”条件的等量关系并根据题目中提供的变量列出方程；（等量关系如：等腰三角的两边相等，直角三角形的勾股定理，相似三角形的对应变成比例，平行四边形的对边相等…） 难点依然是用变量表示图形中相关线段的长度． ②解答“运动型”存在性问题，还要注意分类讨论思想的应用，以及检验所求方程根是否符合题意，是否超出变量的范围． 小结：①解答“运动型”题目中的“最值”和“存在性”问题的基本途径是：分别转化为函数的最值、方程来解决； ②解答“运动型”题目中的“最值”和“存在性”问题的一般步骤： （1）审题，“最值问题”弄清函数关系，“存在性问题”分析“存在”时满足的等量关系； （2）用题目中变量和已知条件表示出相关线段； （3）写出函数关系或列出方程； （4）求函数最值或解方程； （5）检验函数取最值时自变量值或方程解是否符合题意． 图2 B C O A D E M y x P N · 图1 B C O (A) D E M y x 图3 D A B C O A B C P E F O Q D