微分中值定理及其应用-毕业论文.docVIP

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2015届本科毕业论文 微分中值定理及其应用 院（系）名称 数学科学学院 专业名称 数学与应用数学 学生姓名 学号 110414079 指导教师 完成时间 2015.5 微分中值定理及其应用 摘要：微分中定理是微分学的基础定理，它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁，在高等数学间占有核心位置.本文总结和归纳了微分中值定理在数学分析中的应用. 关键词：微分中值定理；应用 0、引言 微分中值定理是一元函数微分学的理论基础，也是一元函数微分学通往应用的桥梁，其应用非常广泛，函数在一点的导数，只反映函数在这点近旁的性质，所以导数是局部性质，但是研究工作中又常常要用函数全局性质.于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质，这就要利用微分中值定理来达到这个目的，它是沟通函数与导数之间的桥梁，应用微分中值定理的基本方法是广泛使用辅助函数. 1、几个常见微分中值定理 定理 （罗尔（Rolle)中值定理） 若函数满足如下条件： (i)在闭区间上连续； （ii)在开区间上可导； （iii)； 则在上至少存在一点，使得 . 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，则至少存在一条水平切线. 证 因为在上连续，所以有最大值和最小值，分别用和表示，现在分两种情况来讨论： (1) 若,则在上必为常数，从而结论显然成立. (2) 若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在上的某点处取得，从而是的极值点.由条件（ii)，在点处可导，故由费马定理推知 . 注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立. 定理 (拉格朗日（Lagrange)中值定理） 若函数满足如下条件： （i)在闭区间上连续； （ii)在开区间上可导； 则在上至少存在一点，使得 =. 显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔定理的结论.这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形. 拉格朗日中值定理的几何意义是说：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.我们在证明时引入的辅助函数，正是曲线与直线AB（）之差. 证 （利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在使得 成立，即证，存在使得 ， （1） 成立，亦即 （2） 记 ，. 则由满足罗尔定理的条件知，存在使得（2）成立，进而（1）成立，从而拉格朗日中值定理成立. 注 定理的结论称为拉格朗日公式. 推论1 若函数在区间上可导，且，，则为上的一个常量函数. 推论2 若函数和均在区间上可导，且，，则在区间上与只相差某一常数，即 （为某一常数）. 推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域上连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且 . 注 导数极限定理适合于用来求分段函数. 定理（柯西中值定理）设函数和满足如下条件： （i)在上都连续； （ii)在上都可导； （iii)和不同时为零； （iv)， 则存在，使得 .（1） 柯西中值定理的几何意义是说：把、这两个函数写作以为参量的参量方程 在平面上表示一段曲线.由于（1）式右边的表示连接该曲线的弦AB的斜率，而（1）式左边的 则表示该曲线上与相对应的一点处的切线的斜率.因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行. 证 首先构造辅助函数 . 由于，故可知恒大于零或者恒小于零。否则，由费马定理可知，必存在使得.我们不妨设恒大于零.于是，对于任意，其中，.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得 在闭区间上连续，在开区间内可导，且 故即是要证明