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2008实变函数与泛函分析初步试题
浙江省2008年10月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.可数个闭集的并集一定是（ ）
A.开集 B.闭集
C.Fσ集 D.Gδ集
2.若，则与（A∩B）∪C对等的集合是（ ）
A.（A∪C）∩（B∪C） B.（A∩C）∪B
C.（A∪B）∩C D.（A∪C）∩B
3.若简单函数列{ fn(x)}满足| fn(x)|≤| fn+1(x)|，则fn(x)一定是（ ）
A.简单函数 B.可测函数
C.连续函数 D.可积函数
二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
4.对一切正整数n，R与Rn一定对等.（ ）
5.若用A表示平面上以有理点为中心、有理数为半径的所有圆，则A是可数集.（ ）
6.f(x)为［a,b］上连续函数实数c，E=｛x|f(x)≥c｝是闭集.（ ）
7.若A、B，A∪B可测，m(A∪B)＜+∞,m(A∪B)=m*A+m*B,则A与B都是可测集.（ ）
8.两个不可测函数的乘积一定不是可测函数.（ ）
9.设｛En｝为两两不交的可测集列，f(x)在En上Lebesgue可积，则f(x)在上也Lebesgue
可积.（ ）
三、填空题(本大题共10小题，每空4分，共40分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
10.设A2n-1=(-n,)，A2n=(0,n),则集列｛An｝的上限集为___________.
11.设An=(1-,2+)，则___________.
12.用E表示平面上无穷多个两两不相交的圆所成之集，则E的基数为___________.
13.设，E=｛(0,y)|y∈(1,2)｝∪F，则E的导集E′=___________.
14.记E为R3中边长为2的立方体，则E中的有理点集的外测度为___________.
15.设E是一个可数点集A和有理数集Q的并集，则mE=___________.
16.函数f(x)在区间［0,1］上几乎处处连续是指___________.
17.设非负函数f(x)在E上可积，，则mE［ f 0］=___________.
18.设在Cantor集P0上定义函数f(x)=0，而在P0的余集中长为的构成区间上定义为1(n=1,2,…)，则f(x)在［0,1］上的Lesbegue积分值为___________.
19.设f(x)=，则f(x)dx=___________.
四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)
20.如果m*E=0，证明E可测.
21.设E是Rn中的可测集，函数f(x)定义在E上，若＞0，存在Rn中的闭集Eδ，使，m(E-Eδ)＜δ，且f(x)是Eδ上的连续函数，证明f(x)是E上的可测函数.
22.利用Lebesgue控制收敛定理，说明存在，并求之.
23.计算函数f(x)=在［0,2］上的全变差。
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