随机变量函数的分布 毕业论文.docVIP

本科毕业论文 论文题目：随机变量函数的分布 姓 名： 学 号： 2010053110 系（部）： 数学系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2010级接本1班 指导教师： 完成时间： 2012 年 4 月 摘 要 求随机变量的分布是概率论与数理统计的核心任务．在自然界和社会生活中，很多随机变量可以表示成已知分布的随机变量的函数．因此，随机变量函数的分布的求法是概率论的基本技巧．本文总结了几种求随机变量函数的分布的方法． 关键词：随机变量；随机变量函数；分布；求法 Abstract Random variable distribution is the probability theory and mathematical statistics the core task. On the nature and social life, many random variables can be expressed as the known distribution functions of random variables. Therefore, the function of random variable distribution of probability theory basic skills. This paper summarizes several of the function of random variable distribution method. Key words: random; variable distribution; function; method 目 录 引 言 1 1.一维随机变量的函数的分布 1 1.1一维离散型随机变量的函数的分布 1 1.2一维连续型随机变量的函数的分布 2 2.二维随机变量的函数的分布 6 2.1二维离散型随机变量的函数的分布 6 2.2二维连续型随机变量的函数的分布 7 致 谢 12 参 考 文 献 13 引 言 在概率论与数理统计中，随机变量函数的分布是值得我们研究的重点问题．寻求随机变量函数的分布的方法有多种，如：分布函数法，概率密度函数法，分布律法等．用这些方法求解随机变量的函数的分布比较简单． 1.一维随机变量的函数的分布 若是一个随机变量，是一个函数，且的全部可能取值落入的定义域中，则为随机变量的函数，同样是一个随机变量．当取值时，随机变量取值． 例如等都是随机变量的函数，从而是随机变量． 1.1一维离散型随机变量的函数的分布 求离散型随机变量的函数的分布是相对简单的工作，如果利用分布函数法寻求其分布反而麻烦，这里我们用分布律法，即用的分布去求的分布． 设是离散型随机变量，的概率分布为 ， 记，若随机变量与的取值一一对应，则的概率分布为 . 这是因为事件发生当且仅当事件发生，故当是离散型随机变量时，也是离散型随机变量，所以，通常把随机变量的可能取值按从小到大的次序排列起来． 如果与的取值非一一对应，例如的全部可能取值为，由于其中有重复的，所以在求的分布律即计算时，应将是使的所有所对应的概率累加起来． 例1 已知随机变量的概率分布为 ， 求的概率分布． 解： 因为 所以，只有三个可能的取值：-1，0，1． 故的分布律为 . 1.2一维连续型随机变量的函数的分布 当随机变量为离散型的时候，寻求它的函数的分布比较容易；而随机变量为连续型的时候，此时我们分以下几种情况讨论的分布． 定理1 若随机变量有概率密度函数,为严格单调函数，且对一切都存在，记为的值域，则随机变量的概率密度函数为 这里 是的反函数． 显然，当为单调增函数时，当为单调减函数时，． 证明：不妨设是严格单调增函数，这时它的反函数也是严格单调增函数，且这意味着仅在区间取值，于是 当时， 当时， 当时， 由此得的密度函数为  同理可证当是严格单调减函数时，结论也成立．但此时要注意故要加绝对值符号，这时 例2 设～，其概率密度函数为求随机变量=的概率密度函数． 解：对于这个问题，当或时，；当时，可导， 且在此区间内为严格单调增函数．于是，令的反函数为 所以， 利用定理1我们来证明几个重要的结论． 结论1 设随机变量服从正态分布,则当时，有． 证明：当时， 是严格增函数，仍在上取值，其反函数为由定理1可得： 此时，． 当时，是严格减函数，仍在上取值，其反函数为由定理1可得： . 此时同样有，结论得证． 结论2 设随机变量则的概率密度函数为 证明：是严格增函数，它仅在上取值，其反函数为，由定理1可得： 当时，，从而; 当时，的密度函数为 . 结论得证． 结