高等数学泰勒公式南京航空航天大学要点解析.ppt

3.6 泰勒(Taylor)公式 一、问题的提出 二、 泰勒中值定理 三、 简单应用 一、问题的提出 * 3．1 微分中值定理 3．2 函数单调性与曲线的凹凸性 3．3 函数的极值与最值 3．4 函数图形的描绘 3．5 洛必达法则 3．6 泰勒（Taylor)公式 — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 特点: 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 下面来解决这两个问题： 由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知 1） 由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一 特殊类型的多项式与函数 f (x)的近似程度越来越好. 问题: 2）设函数 f (x) 在含有x0的开区间(a,b)内具有直到 n+1阶的导数,并设 f (x)的近似多项式为： 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 Pn(x)的确定 二、泰勒(Taylor)中值定理 证明: 则由上面推导可知 拉格朗日型的余项 佩亚诺(Peano)型的余项 -------带拉格朗日型余项的Taylor展式 -------带佩亚诺型余项的Taylor展式 注意: 可见 误差 麦克劳林(Maclaurin)公式 例1 按(x+1)的幂展开 解 函数的泰勒展开： ? 位于 x 与 1之间。 例2 解 解 代入公式,得 假设 代入中得 得 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和: 其中( 在与 之间). 称为按的幂展开的n次近似多项式 称为按的幂展开的n阶泰勒公式 当时,泰勒公式变成L-中值公式 例3 EX . 求的 阶麦克劳林公式. 并估计误差. 寻找函数,使得, 由假设,在内具有直到阶导数,且 两函数及在以及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,故有 如此下去,经过次后,得 两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 (,也在x0与x之间) 例4 计算 .