弹性力学：有限差分发和变分法.pptVIP

第五章用差分法和变分法解平面问题 5－1差分公式的推导 5－2应力函数的差分解 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－4弹性体的变形势能和外力势能 5－5 位移变分方程 5－6 位移变分法 5－5位移变分方程 给出弹性体的限制条件： （1）没有温度改变（热能没变）； （2）没有速度改变（动能没变）。 根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功） 三维： 上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程） 体力的虚功 面力的虚功 （5－22） 5－5位移变分方程 二、虚功方程 按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序。 利用（5－15） 代入位移变分方程 （5－24） 5－5位移变分方程 对应于二维情况 （5－24） （5－24）就是虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。 5－5位移变分方程 三、极小势能原理 令在虚位移过程中，外力的大小和方向保持不变，只是作用点发生了改变 将变分与定积分交换次序，移项 令 极小势能原理： （5－23） 极小势能原理： （5－23） 5－5位移变分方程 在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。 位移变分方程（极小势能原理或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件。 5－6位移变分法 位移变分法： （1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式； （2）使它们满足位移边界条件； （3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程核应力边界条件）并求 出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。 （1）位移分量表达式 （5－25） 其中： 和 是坐标的函数， 为2m个互不依赖的待定系数。 （2）考察是否满足边界条件？？？？？ 5－6位移变分法 令 等于给定约束位移值 ； 在边界 上， 令 等于零。 边界条件满足 （3）怎样满足变分方程（5－22）？？？？？？ 体力的虚功 面力的虚功 （5－22） 位移分量的变分 5－6位移变分法 注：位移分量的变分是由系数 的变分来实现的。 （a） 形变势能的变分 （b） （a），（b）代入变分方程（5－22） 5－6位移变分法 移项，整理 变分 是任意的，互不依赖的，所以系数必须为零 （5－26） 讨论： （1）由于系数互不依赖，所以可由方程（5－26）求出各个系数； （2）再由（5－25）求得位移分量； （3）再求应变和应力分量。 5－7位移变分法的例题 例1：如图（5－9）所示薄板，不计体力， 约束和外力如图。 图：5－9 （1）取位移分量表达式如下 （2）考察是否满足边界条件？？？？－－－满足 （5－16） （3）由（5－26）求出待定常数，得到位移分量的解答 首先，由（5－16）求出形变势能 （b） 5－7位移变分法的例题 形变势能的表达式 进行积分 由于不计体力，项数为1，（5－26）简化为 （c） （d） （e） 代入边界条件积分 NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程 * 5－1差分公式的推导 差分法：是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用 差分 来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微 分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解 代数方程问题。 差分法的数学基础：泰勒公式 图5－1 5－1差分公式的推导 图5－1 设： 为弹性体的某一连续函数 在平行与 轴的一根网线上函数只随 坐标的变化而变化。 在节点0 的近处将函数 展成泰勒级数 （a） 5－1差分公式的推导 节点3的坐标 ，节点1的坐标 ，带入（a） 假定网格间距 充分小，二次项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为 （b） （c） （d）