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§4 正定二次型 一、正定二次型 定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有. 实二次型 是正定的当且仅当. 设实二次型 (1) 是正定的，经过非退化实线性替换 (2) 变成二次型 (3) 则的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数都有. 因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换 变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变. 二、正定二次型的判别 定理6 实数域上二次型是正定的它的正惯性指数等于. 定理6说明，正定二次型的规范形为 (5) 定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型 正定. 因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同. 推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义6 子式 称为矩阵的顺序主子式. 定理7 实二次型 是正定的矩阵的顺序主子式全大于零. 例 判定二次型 是否正定. 定义7 设是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的. 由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的. 定理8 对于实二次型，其中是实对称的，下列条件等价： （1）是半正定的； （2）它的正惯性指数与秩相等； （3）有可逆实矩阵，使 其中； （4）有实矩阵使 . （5）的所有主子式皆大于或等于零； 注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如 就是一个反例. 证明 Th8, 设的主子式全大于或等于零，是的级顺序主子式，是对应的矩阵 其中是中一切级主子式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵. 若不是半正定矩阵，则存在一个非零向量，使 令 与时是正定矩阵矛盾，故是半正定矩阵. Th8 记的行指标和列指标为的级主子式为，对应矩阵是，对任意，有,其中 又是半正定矩阵,从而 . 若，则P234,12T，存在使与矛盾，所以. ◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵. ◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵. 证明 是实对称矩阵，令，则是维实向量 是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵. ◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵. 证明 由于正定，存在可逆矩阵，使, ,从而为正定矩阵. 正定 又正定， ,正定,正定. 对称 当时，,从而正定. 当时, 所以与合同，因而正定.