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* * ? 2009, Henan Polytechnic University * §2 标准正交基 第九章 欧氏空间 * 二、 线性变换的简单性质 二、标准正交基 一、正交向量组 三、正交矩阵 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 ① 若 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注： 证：设非零向量　　 　 两两正交. 令 则 由 　知 故　　　　　　线性无关. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：　　中 线性无关． 但　　　不是正交向量组. 1. 几何空间　 中的情况 在直角坐标系下 是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基 是 的一组基. 设 ① 从 ② ③ 得 ④ 即在基 　 下， 中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式. 维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组 称为正交基； 2. 标准正交基的定义 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注： ① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基. ② 维欧氏空间V中的一组基 　 为标准正交基 ③ 维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 (1) ④ 　维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 　 为V的一组标准正交基，则 (i)　设 则 (ii) (3) 这里 (iii) 所以有 (2) (定理1) 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基. 证：设 　　　 欧氏空间Ｖ中的正交向量组， 对　　　作数学归纳法． 当 　 时, 　　 3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程 就是一组正交基了. 1） 使 假设 　　 时结论成立，即此时可找到向量 成为一组正交基. 现在来看 　 　　的情形. 所以必有向量 不能被 　　 线性表出， 因为 作向量 待定． 从正交向量组的性质知 于是取 即 　为正交向量组． 由归纳法假设知，对这 　　个向量构成的正交组 可得 可扩充得正交基. 于是定理得证． 2） 都可找到一组标准正交基 　　　　　 使 证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 (定理2) 对于 维欧氏空间中任一组基 首先，可取 一般地，假定已求出 　 是单位正交的 ，且 (4) 当 　时，因为有 由(4)知 不能被 　　线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量 (5) 即 再设 可知 　 　　　是单位正交向量组． 从(4)和(5)知 　　　　与 是等价向量组， 因此，有 由归纳原理，定理2得证. 则　　　　且 则过渡矩阵　　　　是上三角形 注： ① 由 知，若 ② Schmidt正交化过程: 化成正交向量组 先把线性无关的向量组 再单位化得标准正交向量组 例1. 把 变成单位正交的向量组. 解：令 正交化 再单位化 即为所求． 例2. 在 　　中定义内积为 求 　　的一组标准正交基． (由基 　　　出发作正交化) 解: 取 正交化