第1节线性规划问题及其数学模型详解.pptVIP

第一章 线性规划及单纯形法 第1节 线性规划问题及其数学模型 问题的提出 线性规划的一般数学模型 线性规划的图解法 线性规划模型的标准形式 标准型线性规划的解的概念 问题的提出： 在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。 　有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 　最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。 有限资源的合理配置有两类问题 　如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 　在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 与规划问题有关的数学模型总有两部分组成： 　约束条件：反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必须完成的任务； 　目标函数：反映生产经营者在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。 例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示： 定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。 　目标： 使总利润　　　　　　 Z=5x1+2x2 极大化 　约束： 每周资源总量的限制， 30x1+20x2≤160 　　　　 5x1+ x2 ≤15 　　　　甲种药品每周产量不应超过4吨的限制 　　　　　　　 x1≤4 　　　　计划生产数不可能是负数， x1≥0 x2≥0 数学模型为 s.t. （subject to) (such that) 　这是一个如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大的数学规划问题。 　在满足一组约束条件的限制下，寻求决策变量x1，x2的决策值，使目标函数达到最大值。 例２：某化工厂根据一项合同要求为用户生产一种用甲、乙两种原料混合配制而成的特种产品。已知甲、乙两种原料都含有A、B、C三种化学成分，两种原料分别所含三种化学成分的百分比含量，以及按合同规定的产品中三种化学成分的最低含量如下表所示： 已知甲、乙两种原料的成本分别是每公斤3元和2元，厂方希望总成本达到最小，问如何配置该产品？ 定义x1，x2分别为每公斤产品中甲，乙两种原料的数量， 目标：使总成本　　　　 Z=3x1+2x2 极小化 约束：配料平衡条件， x1+x2=1 　　　产品中A、B、C三种化学成分的最低含量 　　　　　　　　　　 12x1+3x2≥4 　　　　　　　　　　 2x1+3x2≥2 　　　　　　　　　　 3x1+15x2≥5 　　　非负性条件 x1≥0,x2≥0 数学模型： 　　　 s.t. 这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织 生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1和x2的值使目标函数取得最小 值。 例３，某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2.9米，2.1米和1.5米的圆钢各一根。已知原料长为7.4米，问应如何下料，可使材料最省？ 　分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳出8种不同的下料方案： 设xj表示用第j种下料方案下料的原料根数，j=1,2…8, 目标：使料头总长度 Z=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8极小化 约束：三种规格圆钢根数 　 x1+2x2+ x4+ x6 =100 　　　　　　　　　　　 　2x3+2x4+x5+ x6+3x7=100 3x1+x2+2x3+3x5+x6+4x8=100 　　　非负取整条件　　 　　xj≥0 (j=1,2…8)且取整数 数学模型 s.t. 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。 线性规划的一般数学模型 线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下， 　　变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线 　　性不等式来表达。 （4）要求目标函数实现极大化（max）或极小化（min）。 　满足上述4个特征的规划问题称