用差分法和变分法解平面问题教案.pptVIP

土木工程与力学学院 蒋一萱 §5.3 应力函数差分解的实例 (3）边界内各结点的差分方程,由式（5-10）可知 （5－10） §5.3 应力函数差分解的实例 联立求解上式，可得（以qh2为单位 ) （4）计算结点外一行各结点处的值。由前两式 （5）计算应力。对于结点M §5.3 应力函数差分解的实例 同理可得 沿着梁的中线MA，的变化如下图和右图所示。 §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。 基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。 §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 泛函：以函数为自变量的一类函数。 变分法：主要研究泛函及其极值的求解方法。 弹性力学中所研究的泛函主要是弹性体的能量，例如 形变势能、外力势能等。 弹性力学中的变分法又称作能量法。 形变势能与弹性体的受力次序无关，也与受力的历史无关完全由应力 和变形的最终大小确定－－保守场。 §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为形变势能，储存在弹性体内，单元体内的全部形变势能密度为 或 整个弹性体内的形变势能 形变势能密度（单位体积中具有的形变势能）： §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 对应于平面问题，微元的应变能（应变比能） 整个弹性体内的变形能 把物理方程代入微元的应变能，分别得到用应力应变表示方程 对 求导 （5－15） 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量。 §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 把几何方程代入，得到用位移分量表示的微元变形势能 位移分量表示的弹性体变形势能 平面应力 平面应变 （5－16） §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 讨论 （1）变形势能是变形分量或位移分量的二次泛函，叠加原理不再适用； （2）变形或位移发生时，变形势能总是正的； §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 外力的功： 弹性体受面力和体力作用，在平面区域A内的体力分量 ， 边界上的面力分量为 ，则外力（体力和面力）在实际 位移上所做的功，用公式表示如下 在静态或准静态时，外力的势能转化成外力的功，因此弹性体的外力势能 （5－18） （5－17） §5.5 位移变分方程 设有任一弹性体，在一定外力作用下处于平衡状态。命 为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。 假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即虚位移，或位移变分 对于三维时： 注：变分和微分都是微量，运算方法相同。 一、位移变分方程（拉格朗日变分方程） 根据能量守恒定律，形变势能的增加等于外力势能的减少，也就等于 外力所做的功，即： 由于位移的变分引起的外力功的变分为： §5.5 位移变分方程 外力虚功 外力势能 §5.5 位移变分方程 给出弹性体的限制条件： （1）没有温度改变（热能没变）； （2）没有速度改变（动能没变）。 根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功） 三维： 上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程） 表示： 在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。 体力的虚功 面力的虚功 （5－22） §5.5 位移变分方程 二、推论--虚功方程 按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序。 利用（5－15） 代入位移变分方程 （5－24） §5.5 位移变分方程 对应于二维情况 （5－24） （5－24）就是虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。 注：可以利用虚功原理来推导有限元的一般方程。 * 第五章 用差分法和变分法解 平面问题 §5.1 差分公式的推导 §5.2 应力函数的差分解 §5.3 应力函数差分解的实例 §5.4 弹性体的形变势能和外力势能 §5.