本科毕业（设计）论文--正定矩阵的性质及推广.docVIP

提供完整版的毕业设计 LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012届 本科毕业论文 正定矩阵的性质及推广 院（系）名称 数学科学学院 专 业 名 称 数学与应用数学 学生姓名 学号 080414076 指导教师 完 成 时 间 2012.5 正定矩阵的性质及推广 数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076 指导教师： 摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明. 关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵 关于正定矩阵的定义 　　本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为 　　定义 阶实对称矩阵称为正定的，如果对 ,都有.这种正定矩阵的全体记作. 　　年，首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即 　　定义 设，如果对 ，都有,则称为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作. 　　年，佟文廷把这种矩阵推广为 　　定义 设，如果对,都有正对角矩阵 =，使得，则称为广义的正定矩阵，记为，若与无关，则记为. 　　年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下 　　定义 设，如果对,都存在,使得,称为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为，若与无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作. 正定矩阵的判定定理 　　定理 设是阶实对称矩阵，则下列命题等价 　　 ； 　　 对，都有； 　　 的正惯性指数为，负惯性指数为0； 　　 的各阶顺序主子式都大于0； 　　 存在阶可逆矩阵，使； 　　 存在阶可逆矩阵，使=； 　　 的各阶主子式都大于0； 　　 存在正定矩阵，使； 　　 所有与合同的矩阵是正定矩阵； 　　 的特征值都大于0； 　　 半正定且； 　　 设，则和是正定矩阵. 　　 存在对角元素全大于零的上三角矩阵，使. 　　证明 等价于 　　因为是实对称矩阵，所以可对角化，即存在正交矩阵，使 ， 其中是的特征值，，所以 　　 令=,则是正定矩阵且=. 　　反之，因为是正定矩阵，所以是正定矩阵，即是正定矩阵. 　　等价于 　　设是与合同的矩阵，正定，下证正定，对 ， 作非退化线性替换，则 ， 因为是正定矩阵，所以 ， 即 ， 所以是正定矩阵. 　　反之，令是正定矩阵，则 　　， 因为是正定矩阵，与合同，由上面的证明可知，是正定矩阵. 　　等价于 　　是正定矩阵等价于是正定矩阵， 　　, 　　， 等价于和是正定矩阵. 　　要证等价于，需先证明一个引理. 　　引理 设为一个级实矩阵，且，则可以分解成，其中是正交矩阵，是一上三角矩阵. 　　证明 设，其中是的列向量，因为，所以线性无关，可作为维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令 　　， 　　， 　　， 则 =， 将，，,标准化，令 ， ， 　　 ， 则 ， 是一组标准正交基，令 ， ， 则是正交矩阵，是一上三角矩阵，且对角元素大于零. 　　下面证明等价于 　　是正定矩阵等价于存在可逆矩阵，使 ，是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的情况. 其余等价命题参考文献. 正定矩阵的性质 　　性质 若是正定矩阵，则、、、也是正定矩阵. 　　证明 因为是正定矩阵，所以存在阶可逆矩阵，使，则 所以是正定矩阵. 　　另外，的特征值都大于，所以都大于，即的特征值都大于，所以也是正定矩阵. 　　对于任意的，，所以是正定矩阵. 　　因为=，所以是正定矩阵. 　　性质 设，是阶正定实对称矩阵，且满足,则也是正定实对称矩阵. 　　证明 因为，所以是实对称矩阵，设是的一个特征值，是对应于的特征向量，则 , ， ， 因为,是正定矩阵，所以，，所以，即的特征值都大于，所以也是正定实对称矩阵. 　　由性质的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于. 　　性质 若、都是正定矩阵，则是正定矩阵. 　　证明 显然是实对称矩阵，对于任意的 　　， 有 　　， 所以是正定矩阵. 　　推论 若、都是正定矩阵，则是正定矩阵. 　　性质 若、都是正定矩阵，则. 　　证明 因为是正定矩阵，所以存在可逆矩阵,使得 ，显然是对称矩阵，则可对角化，所以存在正交矩阵,使 　　= 因为是正定矩阵，所以，令，则 == 分别对上式两边求行列式得， ， ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 . 　　此性质说明了对任意一个正定矩阵和一个实对称矩阵(不一定是正定的),存在可逆矩阵，