9-弹性力学-第6章6-7至6-11重点讲解.pptVIP

上堂课主要内容 第六章 有限单元法解平面问题 （二） §6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组 在针对单元进行分析时， 一方面将单元上的外力荷载都向节点移置而成为节点荷载： 另一方面求出节点与单元间的相互作用力： 节点对单元的作用力是节点力 代入式(a)，可表示为 §6-8 解题的具体步骤 单元的划分 （3）使用已编好的程序进行上机计算。事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。 单元划分注意事项 §6-9 计算成果的整理 应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。这是由于计算出的应力的精度较低。假设Ⅰ单元的应力成果为　　 ，其中 为真解， 为误差。则 由于在结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的Ⅱ单元的应力趋近于 。这就产生了应力的波动性。 §6-10 计算实例 §6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程 * 有限单元法的概念及基本方程 单元的位移模式与解答的收敛性 单元的应变列阵和应力列阵 单元的结点力列阵与劲度矩阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵 本堂课 6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程 6-10 计算实例 6-9 计算成果的整理 6-8 解题的具体步骤 6-7 结构的整体分析 节点平衡方程组 有限元的分析步骤一般是从单元的结点位移→求位移分布→求应变→求应力→求结点力。 单元对节点的作用力是节点力的负值。 假设将结点i与周围的单元切开，则围绕i结点的每个单元对i 结点有结点力( )的作用,也有外荷载移置的结点荷载( )的作用。 对某一个单元ijm， 其中 是对围绕i 结点的单元求和。 结点i 的平衡条件为 其中, ijm是单元结点的局部编号; i=1, 2 ,…, n是其整体编号。 将式(b)按整体结点编号排列,得整个结构的平衡方程组。 其中， 分别为整体结点位移列阵，整体结点荷载列阵和整体劲度矩阵。 考虑结构的约束条件后, 从式(c)求出 ,就可以求出各单元的位移函数和应力。 在应用有限单元法求解问题时，计算工作量是很大的，因此，必须利用事先编好的计算程序，在电子计算机上进行计算。 有限单元法的具体计算包括以下4大步骤 （1）划分单元网格，对单元和结点编号。 （ 2）选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。单元内的ijm的局部编号应按书中规定的右手规则编号。否则会使三角形的面积出现负号等问题。 （4）对成果进行整理、分析。 对第1步和第4步的工作，也尽可能由计算机完成，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等。 （1）单元大小问题 一般而言，单元尺寸越小，计算结果越准确。但单元越多，计算时间也越长、要求的计算机容量也越大。因此，对于大型工程而言，应在计算机容量的范围内，根据合理的计算时间，考虑工程对结果精度的要求，综合确定单元尺寸。 （2）单元在不同部位的合理布置问题 对于不同部位的单元，可以采用不同的大小，也应当采用不同的大小。在边界比较曲折的部位，以及应力和位移变化比较剧烈的部位，单元尺寸应该取小一些。如果位移和应力变化情况不易预估，可以先用较均匀的单元进行试算，然后根据试算结果重新进行单元划分和计算。 （3）三角形三个内角最好较接近 误差分析发现，应力及位移的误差都和单元的最小内角的正弦成反比，因此，只要有可能，应使三角形得三个内角大小比较接近。 （4）利用对称性和反对称性 利用对称性，可以只要对研究对象的1/2甚至1/4进行计算，大大减少计算工作量。 （5）厚度突变之处和材料不同之处 厚度突变和材料不同之处不仅要取较小的计算单元，同时要把突变线作为单元的界线（不要使突变线穿过单元），因为在对每个单元进行分析时，曾假定单元的厚度t是常量，弹性常数E和μ也是常数。 t2 t1 E1, μ1 E2, μ2 突变线 突变线 （6）载荷作用 在计算对象受集度突变的分布荷载或受集中力作用的部位的单元应取小一些，并在荷载突变或集中之处布置节点，以便更好地反映应力突变。 F q2 q1 （7）水利闸坝工程问题 计算闸坝等结构时，应将与结构相连的一部分地基取为弹性体，并和结构一起作为计算对象。 一般建议在闸坝的两边和下方，把地基范围大致等于底部结构宽度的2到3倍。 b 2～3b 2～3b 2～3b 2～3b （8）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等 在结构的凹槽或孔洞附近会发生应力集中现象，位移和应力均会发生