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第9讲 Ch.2 随机变量及其分布 §2.4 常用离散型分布 Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型 2.4.1 二项分布(以重伯努利试验为背景的分布) 1. 二项分布的定义与记号 记 “重伯努利试验中发生(即‘成功’)的次数”， 则为离散型，其可能值为.且由事件的独立性可得 . 其中,满足.基于这种试验的背景，可以给出二项分布的定义与记号如下： 若的分布列为 , 则称服从参数为的二项分布（因其形式而得名），记为. Remarks 容易验证二项分布的分布列满足非负性，正则性. 实际中二项分布的例子： ☆检查不合格品率为的一批产品中的10件，其中不合格品数； ☆随机调查色盲率为的任意50个人中的色盲人数； ☆命中率为的射手5次射击中命中次数. 2. 利用二项分布的分布列计算概率 例2.4.1习题的第2题) 一条自动化生产线上产品一级品率为0.8，检查5件，求至少有2件一级品的概率. 解 记 =“抽检5件产品中一级品的件数”， 则依题意可知，于是 抽检5件中至少有2件是一级品 例2.4.2 已知，，若，求. 解 由及，得 ， 即 ， 解之得 或 (舍去), 于是，所以 . 3. 二点分布(二项分布的特殊情形) 的二项分布称为二点分布，或称0-1 分布，易见，若的分布为二点分布，则其分布列为 . 表格列示就是 0 1 Remark (回到重伯努利试验背景下，探讨二项分布与二点分布的有用关系.)记 “重伯努利试验中‘成功’的次数”， 则；又记 重伯努利试验中第次试验成功的次数， 则 易见相互独立(的独立性第三章中讨论)，且 . 这结果表明：服从二项分布的是个独立的二点分布的之和. 4. 二项分布的期望与方差 若，则，. Proof 由，得 于是 . 又 ， 于是 . Remarks 若～，则. 一定时，对服从二项分布的取的概率，即变化特点的描述：如～，分别取时，的变化特点是 1) 的峰值出现在接近的值处； 2) 的峰值随的增大而右移. 教材有相应的图形揭示. 例2.4.3 (自学) 2.4.2泊松分布 1.泊松分布定义与记号 若的分布列为 . 其中，则称服从参数为的泊松分布，记为～. Remarks 泊松分布的分布列满足非负性和正则性. 一本书中的出错处数是服从泊松分布的；其它服从泊松分布的实例. 2. 泊松分布的期望与方差 若～，则.(参数既是期望也是方差！) Proof Remarks 若～，则.记住这个结论是主要的，其证明看过即可. 对服从泊松分布的取的概率，即变化特点的描述： 如～，分别取时，的变化特点是 1) 的峰值出现在接近的值处； 2) 的分布随的增大趋于对称. 教材有相应的图形揭示. 3. 泊松分布应用例 例2.4.4 一个铸件上的砂眼(缺陷)数服从参数为的泊松分布，试求此铸件上至多有1个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品)的概率. 解 记 =“该铸件上的砂眼数”， 则～，于是 铸件合格=. (用查的泊松分布表) 从而 铸件不合格=. 例2.4.5 () 4. 二项分布的泊松分布近似 Remark 问题：二项分布概率计算在较大时计算量很大，如何处理？ 解决方法：转为泊松分布作近似计算. 理论依据：泊松定理. 定理2.4.1（泊松定理） ,则当充分大，且足够小时，则有 ， 其中. Proof (略) Remarks 使用泊松定理对二项分布有关概率作近似计算的条件不是很明确，其实想用都可用，如果不是很大，不是很小时，也用这种近似计算，不是不可以，只是近似的效果不好而已. 对不同的、值，利用定理2.4.1的近似效果揭示. 见表2.4.3. ☆泊松定理应用例 例2.4.6 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，求该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率. 解 设 =“该单位患此病的人数”， 则~，于是 该单位5000人患此病的人数不超5人) ， 这里=5000较大，=0.001也是足够小，于是，由泊松定理可取 ， 做近似计算，所求概率为 . 最后一步用查的泊松分布表得到. 例2.4.7 有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险，每个投保人在每年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人意外死亡则受益人可从保险公司获得100 000元的赔偿